Градієнт

Градієнтом функції (або ) кількох змінних називається вектор, координати якого є частинними похідними за відповідними незалежними змінними.

Таким чином, для функції двох змінних

, (9)

а для функції трьох змінних

.

(10)

Говорять, що в області (n=2, 3) задано векторне поле, якщо в кожній точці заданий вектор (тобто задана вектор-функція декількох змінних). Отже, будь-яка диференціюєма в області G скалярна функція (скалярне поле) u=u(P) породжує в цій області векторне поле . Функція u(P) називається потенціалом векторного поля , а саме векторне поле називається потенційним полем.

ТЕОРЕМА. Похідна за напрямком дорівнює проекції градієнта на цей напрямок .

Наслідок. Похідна за напрямком максимальна у напрямку градієнта, тобто градієнт направлений у бік найскорішого зростання функції, і в цьому напрямку .

ТЕОРЕМА. 1). Градієнт функції двох змінних в кожній точці перпендикулярний до лінії рівня даної функції, що проходить через цю точку (якщо ).

2). Градієнт функції трьох змінних в кожній точці перпендикулярний до поверхні рівня даної функції, що проходить через цю точку (якщо ).

Наслідок. Похідна за напрямком , який дотичний до лінії рівня, дорівнює нулю.

Приклади. Знайти градієнт функції в точці М.

а) , .

Обчислимо частинні похідні

За формулою (9) маємо

Обчислимо значення градієнта в точці М(3;-6)

б) , .

Обчислимо частинні похідні ; ; . За формулою (10) маємо .

Обчислимо значення градієнта в точці : .

Неявні функції та їх диференціювання

Розглянемо рівняння

(11)

Якщо для всіх (x;y) з деякої множини існує така функція (не обов'язково єдина), при підстановці якої в (11) ця рівність виконується тотожно в D, то говорять, що рівняння (11) визначає на множині D неявну функцію .

Приклад. Рівняння визначає неявно дві неперервні функції (або одну двозначну функцію ) з областями визначення кожної .

Проте отримати явну залежність з рівняння вигляду (11) не завжди можливо, до того ж воно може і не визначати ніякої функції. Тому важливо знать умови, які б гарантували існування такої неявно заданої функції .

ТЕОРЕМА. Про існування неявної функції.

Нехай функція та її частинні похідні , , , неперервні в околі точки . Якщо

та ,

то рівняння

має єдиний неперервний розв’язок у деякому околі точки таке, . Функція також має неперервні частинні похідні.

Зауважимо, що якщо в точці похідна , а, наприклад, , то рівняння може не визначати як функцію та , але визначає як функцію та .

Помітимо, що теорема не вказує метод знаходження цієї неявної функції, а тільки стверджує, що така функція існує. Проте виявляється, що частинні похідні і цієї невідомої функції можуть бути обчислені.

Нехай умови теореми про існування неявної функції виконані, і рівняння визначає деяку функцію . Підставляючи її в рівняння (11), отримаємо тотожність,

справедливу при всіх (x; у) з деякого околу точки  . Продиференціюємо обидва частини цієї тотожності по змінні x, використовуючи правило диференціювання складної функції.

.

(12)

Аналогійно визначається і частинна похідна :

.

(13)

Ці формули виражають частинні похідні неявної функції через похідні заданої функції . При ці формули втрачають сенс.

Зауваження. У разі, коли рівняння неявно визначає функцію однієї змінної, що диференціюється, можна, діючи аналогійно, обчислити звичайну похідну , якщо .

Приклад. Знайдемо частинні похідні функції , заданої рівнянням . Маємо

отже

В цьому прикладі можна знайти явний вираз функції і перевірити правильність отриманих результатів. Пропонуємо зробити це самостійно.