Границя і нЕперервність функції двох змінних

Нехай функція визначена в деякому околі точки .

Околом точки називається будь-яке коло з центром в точці , а околом точки – будь-яка куля з центром в точці .

Позначимо через – відстань між точками та ,

.

Говорять, що точка P наближається до точки , якщо в процесі зміни координат точки P(x;y) , що можливе тоді і тільки тоді, коли одночасно .

Число B називається границею функції , при

,

якщо , коли .

Функція називається неперервною в точці Pо, якщо визначено значення , і

.

Функція називається неперервною в області R², якщо вона неперервна в кожній точці області D.

Визначення границі та неперервності функції декількох змінних аналогійні цим поняттям для функції однієї змінної. Тому справедливі всі правила граничного переходу, та всі елементарні функції декількох змінних неперервні в своїх природних областях визначення. Значить, можна переходити до границі під знаком функції, якщо ця функція елементарна і визначена в деякому околі граничної точки.

Приклади

а) .

б)

Частинні похідні

Нехай – функція двох змінних. Зафіксуємо одну із змінних, наприклад у, а другій надамо приріст . Частинним приростом функції за змінною x називається величина . Аналогічно визначається частинний приріст за змінною у: .

Якщо приріст отримують обидві незалежні змінні, то різниця називається повним приростом функції.

Частинною похідною від функції двох змінних за змінною x (позначається або ) називається границя (якщо вона існує та скінченна) відношення частинного приросту функції за змінною x до приросту цієї змінної при умові :

,

тобто похідна цієї функції, обчислена в припущенні, що інша змінна у фіксована.

Аналогічно визначається частинна похідна за у (x вважаємо фіксованим):

.

Приклади.

а)

б) Знайти частинні похідні функцій в точці .

. ,

;

в) Знайти частинні похідні функції .

Частинні похідні функцій більш ніж двох змінних обчислюються в припущенні, що всі змінні фіксовані, окрім однієї, за якою і обчислюється похідна.

Приклад.

,

Нужно ли єто ?????

Геометричний зміст частинної похідної.

Графіками функцій , є відповідно лінії, отримані при перерізі поверхні з рівнянням площинами і . Параметричні рівняння цих ліній такі:

,

.

Рисунок 5.

Знайдемо вектори швидкостей цих кривих: , (рис. 5).

Тоді , ;

Отже, - кутовий коефіцієнт дотичної до перерізу поверхні площиною , а - кутовий коефіцієнт дотичної до перерізу поверхні площиною .

Диференціал

Нехай функція визначена в околі точки , точка лежить в цьому околі та – відстань між точками і .

Якщо повний приріст функції між точками та може бути представлено у вигляді

,

де і обчислюються в точці , а – нескінченно мала, коли (тобто коли ), то функція називається дифференційовною в точці , а вираз

(1)

називається повним диференціалом функції .

Оскільки прирости незалежних змінних x, у співпадають з їх диференціалами , , то

ТЕОРЕМА. Достатня умова диференційовності.

Якщо функція має в деякій області неперервні частинні похідні й , то вона в цій області диференційовна.

Такі функції називаються неперервно диференційовними.

Для функції трьох змінних диференціал

(2)

Приклад. Знайти повний диференціал функції

а)

Обчислимо частинні похідні .

Частинні похідні неперервні при всіх (x; у; z), тому за достатньою умовою диференційованості функція диференційовна в кожній точці площини і її повний диференціал за формулою (2) дорівнює:

б) .

Обчислимо частинні похідні

Повний диференціал