Алгоритм Брезенхема для генерации окружностей

В растр нужно разлагать не только линейные, но и другие, более сложные функции. Разложению конических сечений, т. е. окружностей, эллипсов, парабол, гипербол посвящено значительное число работ. Наибольшее внимание, разумеется, уделено окружности.

О дин из наиболее эффективных и простых для понимания алгоритмов генерации окружности принадлежит Б

Рис.3. Генерация полной окружности из дуги в первом октанте

резенхему. Для начала заметим, что необходимо сгенерировать только одну восьмую часть окружности. Остальные её части могут быть получены последовательными отражениями, как это показано на рис. 2.3. Если сгенерирован первый октант (от 0 до 45 против часовой стрелки), то второй октант можно получить зеркальным отражением относительно прямой у = x, что дает в совокупности первый квадрант. Первый квадрант отражается относительно прямой x = 0 для получения соответствующей части окружности во втором квадранте. Верхняя полуокружность отражается относительно прямой у = 0 для завершения построения. На рис.3. приведены двумерные матрицы соответствующих преобразований.

Для вывода алгоритма рассмотрим первую четверть окружности с центром в начале координат. Заметим, что если работа алгоритма начинается в точке x = 0, у = R, то при генерации окружности по часовой стрелке в первом квадранте у является монотонно убывающей функцией аргумента x (рис. 2.4). Аналогично, если исходной точкой является y = 0, x = R, то при генерации окруж­ности против часовой стрелки x будет монотонно убывающей функцией аргумента у. В нашем случае выбирается генерация по часовой стрелке с началом в точке x = 0, у = R. Предполагается, что центр окружности и начальная точка находятся точно в точках растра.

Для любой заданной точки на окружности при генерации по часовой стрелке существует только три возможности выбрать следующий пиксел, наилучшим образом приближающий окружность: горизонтально вправо, по диагонали вниз и вправо, вертикально вниз. На рис.2.5 эти направления обозначены соответственно m_H, m_D, m_V. Алгоритм выбирает пиксел, для которого минимален квадрат расстояния между одним из этих пикселов и окружностью, т. е. минимум из

m_H = | ( x_i + 1 )² + ( y_i )² – R² |

m_H = | ( x_i + 1 )² + ( y_i  1 )² – R² |

m_H = | ( x_i )² + ( y_i  1 )² – R² |

2. Выбор пикселов в первом квадранте

2. Окружность в первом квадранте

Вычисления можно упростить, если заметить, что в окрестности точки ( x_i, y_i ) возможны только пять типов пересечений окружности и сетки растра, приведенных на рис.2.6.

Разность между квадратами расстояний от центра окружности до диагонального пиксела ( x_i + 1, y_i  1 ) и от центра до точки на окружности R² равна

Как и в алгоритме Брезенхема для отрезка, для выбора соответствующего пикселя желательно использовать только знак ошиб­ки, а не её величину.

При  < 0 диагональная точка ( x_i + 1, y_i  1 ) находится внут­ри реальной окружности, т. е. это случаи 1 или 2 на рис.2.6. Яс­но, что в этой ситуации следует выбрать либо пиксел ( x_i + 1, y_i ) т. е. m_H, либо пиксел ( x_i + 1, y_i  1 ), т. е. m_D. Для этого сначала рассмотрим случай 1 и проверим разность квадратов расстояний от окружности до пикселов в горизонтальном и диагональном направ­лениях:

При  < 0 расстояние от окружности до диагонального пиксела

(m_D) больше, чем до горизонтального (m_H). Напротив, если  > 0, расстояние до горизонтального пиксела (m_H) больше. Таким обра­зом,

при  < 0 выбираем m_H ( x_i + 1, у_i )

при  > 0 выбираем m_D ( x_i + 1, у_i – 1 )

При  = 0, когда расстояния от окружности до обоих пикселов одинаковы, выбираем горизонтальный шаг.

Количество вычислений, необходимых для оценки величины , можно сократить, если заметить, что в случае 1

так как диагональный пиксел ( x_i + 1, у_i – 1 ) всегда лежит внутри окружности, а горизонтальный ( x_i + 1, у_i ) - вне ее. Таким образом,  можно вычислить по формуле

Дополнение до полного квадрата члена ( y_i )² с помощью добавления и вычитания - 2у_i + 1 дает

В квадратных скобках стоит по определению _i, и его подстановка

 = 2(_i + y_i) – 1

существенно упрощает выражение.

Р ассмотрим случай 2 на рис.2.6 и заметим, что здесь должен быть выбран горизонтальный пиксел ( x_i + 1, у_i ), так как у являет­ся монотонно убывающей функцией. Проверка компонент  показывает, что

поскольку в случае 2 горизонтальный ( x_i + 1, у_i ) и диагональный ( x_i + 1, у_i – 1 ) пикселы лежат внутри окружности. Следовательно,  < 0, и при использовании того же самого критерия, что и в слу­чае 1, выбирается пиксел ( x_i + 1, у_i ).

Если _i > 0, то диагональная точка ( x_i + 1, у_i – 1 ) находится вне окружности, т. е. это случаи З и 4 на рис.2.6. В данной ситуа­ции ясно, что должен быть выбран либо пиксел ( x_i + 1, у_i – 1 ), т. е. m_D, либо ( x_i, у_i – 1 ), т. е. m_V. Аналогично разбору предыдущего случая критерий выбора можно получить, рассматривая сна­чала случай З и проверяя разность между квадратами расстояний от о

2. Пересечение окружности и сетки растра

кружности до диагонального m_D и вертикального m_V пикселов, т. е.

При ^\ < 0 расстояние от окружности до вертикального пиксе­ла ( x_i, у_i – 1 ) больше и следует выбрать диагональный шаг m_D, к пикселу ( x_i + 1, у_i – 1 ). Напротив, в случае ^\ > 0 расстояние от окружности до диагонального пиксела больше и следует выбрать вертикальное движение к пикселу ( x_i, у_i – 1 ). Таким образом,

при   0 выбираем m_D в ( x_i + 1, у_i – 1 )

при  < 0 выбираем m_V в ( x_i, у_i – 1 )

Здесь в случае  = 0, т. е. когда расстояния равны, выбран диагональный шаг.

Проверка компонент ^\ показывает, что

поскольку для случая З диагональный пиксел ( x_i + 1, у_i – 1 ) находится вне окружности, тогда как вертикальный пиксел ( x_i, у_i – 1 ) лежит внутри ее. Это позволяет записать ^\ в виде

Дополнение до полного квадрата члена ( x_i )² с помощью добавления и вычитания 2x_i + 1 дает

Использование определения _i приводит выражение к виду

Теперь, рассматривая случай 4, снова заметим, что следует выбрать вертикальный пиксел ( x_i, у_i – 1 ), так как y является монотонно убывающей функцией при возрастании x. проверка компонент ^\ для случая 4 показывает, что

поскольку оба пиксела находятся вне окружности. Следовательно, ^\ > 0 и при использовании критерия, разработанного для случая 3, происходит верный выбор m_V.

Осталось проверить только случай 5 на рис.2.7, который встречается, когда диагональный пиксел ( x_i + 1, у_i – 1 ) лежит на окружности, т. е. _i = 0. Проверка компонент  показывает, что

Следовательно,  > 0 и выбирается диагональный пиксел ( x_i + 1, у_i – 1 ). Аналогичным образом оцениваем компоненты ^\:

и  < 0, что является условием выбора правильного диагонально­го шага к ( х_i + 1, у_i – 1 ). Таким образом, случай _i = 0 подчиня­ется тому же критерию, что и случай _i < 0 или _i > 0.

Подведем итог полученных результатов:

_i < 0

  0 выбираем пиксел ( х_i + 1, у_i )  m_H

 > 0 выбираем пиксел ( х_i + 1, у_i – 1 )  m_D

_i > 0

^\  0 выбираем пиксел ( х_i + 1, у_i – 1 )  m_D

^\ > 0 выбираем пиксел ( х_i , у_i – 1 )  m_V

_i = 0 выбираем пиксел ( х_i + 1, у_i – 1 )  m_D

Легко разработать простые рекуррентные соотношения дня реализации пошагового алгоритма. Сначала рассмотрим горизонталь­ный шаг m_H к пикселу ( х_i + 1, у_i ). Обозначим это новое положение пиксела как ( i + 1 ). Тогда координаты нового пиксела и значение _i равны

Аналогично координаты нового пиксела и значения _i для шага m_D к пикселу ( х_i + 1, у_i – 1 ) таковы:

То же самое для шага m_V к ( х_i, у_i – 1 )

Заливка области с затравкой.

Как уже отмечалось, для приложений, связанных в основном с интерактивной работой, используются алгоритмы заполнения области с затравкой. При этом тем или иным образом задается заливаемая (перекрашиваемая) область, код растра, которым будет выполняться заливка и начальная точка в области, с которой начнется заливка.

Основное отличие заполнения многоугольника от заливки области с затравкой состоит в том, что в последнем случае мы сразу имеем всю информацию о предельных размерах части экрана, занятой многоугольником. Поэтому определение принадлежности растра многоугольнику базируется на быстро работающих алгоритмах, использующих когерентность строк и ребер (см. предыдущий раздел). В алгоритмах же заливки области с затравкой нам вначале надо прочитать растр, затем определить принадлежит ли он области и если принадлежит, то перекрасить.

З аливаемая область или ее граница - некоторое связное множество растров. По способам доступа к соседним растрам области делятся на 4-х и 8-ми связные. В 4-^х связных областях доступ к соседним растрам осуществляется по четырем направлениям - горизонтально влево и вправо и в вертикально вверх и вниз. В 8-^ми связных областях к этим направлениям добавляются еще 4 диагональных. Используя связность, мы можем, двигаясь от точки затравки, достичь и закрасить все растры области.

Важно отметить, что для 4-^х- связной прямоугольной области граница 8-ми связна (рис. 5а) и наоборот у 8-^ми- связной области граница 4-^х связна (см. рис.5б). Поэтому заполнение 4-^х- связной области 8-^ми связным алгоритмом может привести к "просачиванию" через границу и заливке растров в примыкающей области.

В общем, 4-^х связную область мы можем заполнить как 4-^х, так и 8-^ми связным алгоритмом. Обратное же неверно. Так область на рис.6 а мы можем заполнить любым алгоритмом, а область на рис.5б, состоящую из двух примыкающих 4-^х связных областей можно заполнить только 8-^ми связным алгоритмом.

Связность областей и их границ

С использованием связности областей и стековой можно построить простые алгоритмы закраски как внутренней, так и гранично-определенной области.

Простой алгоритм заливки. Рассмотрим простой алгоритм заливки гранично-определенной 4-^х связной области (рекурсивная реализация)

Заливка выполняется следующим образом:

Определяется, является ли растр граничным или уже закрашенным,

если нет, то растр перекрашивается, затем проверяются, и если надо перекрашиваются 4 соседних растра.

Понятно, что несмотря на простоту и изящество программы, рекурсивная реализация проигрывает итеративной в том, что требуется много памяти для упрятывания вложенных вызовов.

Рассмотрим итеративный алгоритм закраски 4-^х связной гранично-определенной области. Логика работы алгоритма следующая:

Поместить координаты затравки в стек,

Пока стек не пуст.

И звлечь координаты растра из стека.

Перекрасить растр.

Для всех четырех соседних растров проверить является ли он граничным или уже перекрашен.

Если нет, то занести его координаты в стек.

На рисунке показан выбранный порядок перебора соседних растров, а на рис.7б соответствующий ему порядок закраски простой гранично-определенной области.

Ясно, что такой алгоритм экономнее, так как в стек надо упрятывать только координаты.

Рассмотренный алгоритм легко модифицировать для работы с 8-^ми связными гранично-определенными областями или же для работы с внутренне-определенными. Сравнительные прогоны тестовых программ подтвердили соображения о неэкономности рекурсивного алгоритма: при стандартном окне стека в 64K с помощью рекурсивной программы можно закрасить квадратик не более чем 57×57 растров(при условии, что 1 растр = 1пикселю). Итеративная же программа при тех же условиях позволяет закрасить прямоугольник размером 110×110, истратив на массив координат 16382 байта. Как уже отмечалось, очевидный недостаток алгоритмов, непосредственно использующих связность закрашиваемой области - большие затраты памяти на стек, так как на каждый закрашенный растр в стеке по максимуму будет занесена информация о еще трех соседних. Кроме того, информация о некоторых растрах может записываться в стек многократно. Это приведет не только к перерасходу памяти, но и потере быстродействия за счет многократной раскраски одного и того же растра. Значительно более экономен далее рассмотренный построчный алгоритм заливки. Построчный алгоритм заливки с затравкой использует пространственную когерентность: растры в строке меняются только на границах; при перемещении к следующей строке размер заливаемой строки скорее всего или неизменен или меняется на 1 растр.

Таким образом, на каждый закрашиваемый фрагмент строки в стеке хранятся координаты только одного начального растра, что приводит к существенному уменьшению размера стека.

Последовательность работы алгоритма для гранично - определенной области следующая:

Координата затравки помещается в стек, затем до исчерпания стека выполняются пункты 2-4.

Координата очередной затравки извлекается из стека и выполняется максимально возможное закрашивание вправо и влево по строке с затравкой, т.е. пока не попадется граничный растр. Пусть это Хлев и Хправ, соответственно. Анализируется строка ниже закрашиваемой в пределах от Хлев до Хправ и в ней находятся крайние правые растры всех незакрашенных фрагментов. Их координаты заносятся в стек. То же самое проделывается для строки выше закрашиваемой.

За счет несложной модификации служебных процедур запроса и записи строк изображения данная процедура может заливать изображение, размещенное в файле.