1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

Две матрицы считаю равными, если совпадают их размеры и равны соответствующие элементы.

Если mxn, то матрицу называют квадратной, если нет – прямоугольной.

Главной диагональю называют множество элементов, имеющих одинаковые индексы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы, стоящие на главной диагонали, равны нулю.

Если все элементы, стоящие на главной диагонали, равны 1, то матрицу называют единичной и обозначают Е.

Матрицу называют треугольной, или верхнеугольной, если все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю.

Транспонированной по отношению к матрице А называют матрицу, столбцами которой являются строки матрицы А. Обозначают A’.

Суммой (разностью) двух матриц A={a_ij} и B={b_ij} называют матрицу С={c_ij}, состоящую из элементов

c_ij = a_ij + b_ij (c_ij = a_ij + b_ij)

Произведением числа  и матрицы A={a_ij} называют матрицу С={c_ij}, состоящую из элементов c_ij = a_ij.

Произведением матрицы A={a_ij} размером mxn на матрицу B={b_ij} размером nxk,называют матрицу С={c_ij} размером mxk, элементами которой являются различные произведения строк матрицы А на столбцы матрицы В.

2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

Определителем матрицы А размера 2x2 называют число, полученное из разности произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали.

Определителем матрицы А размером 3x3 называется число, вычисленное по правилу, изображённому на схеме.

В качестве определителя n-го порядка примем формулы из свойства 11

, i = 1, 2, …, n , j = 1, 2, …, n

Свойство 11 (теорема Лапласса). Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна определителю.

, i = 1, 2, 3 , j = 1, 2, 3

3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

Невырожденные (неособенные) матрицы:

 Вырожденные (особенные) матрицы:

Присоединенной матрицей  матрицы  называется матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы  .

Пусть А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера. Матрица В называется обратной к матрице А, если АВ = Е и В ∙ А = Е.

Обратная матрица обозначается А^-1.

АА^-1 = А^-1А = Е

Теорема 2. Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель │А│ отличен от нуля.

Доказательство: если А имеет обратную, то Е = А ∙ А^-1 , откуда по свойству 10 определителей имеем

1 = │Е│ = │ А ∙ А^-1│= │А│ ∙ │А^-1│, откуда видно, что │А│≠ 0.

Алгоритм построения обратной матрицы:

1. вычислить │А│. Если │А│= 0, то по доказательству А^-1 не существует. На этом вычисления заканчиваются. переходим к следующему этапу.

2. выписать транспонированную матрицу А'.

3. составляем матрицу , составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы А'. Матрица называется присоединённой к матрице А.

4. выписываем ответ по формуле А^-1 = .

5. делаем проверку: проверяем равенства А ∙ А^-1 = Е и А^-1 ∙ А = Е.