53. Операции над логическими автоматами: суперпозиция и введение обратной связи.

Пусть имеется два автомата, один из которых вычисляет автоматную функцию f₁, а другой – функцию f₂. Если выход первого автомата подключить ко входу второго, то полученный автомат будет вычислять суперпозицию f₂( f₁). Очевидно, суперпозиция автоматных функций сама является автоматной функцией. Её каноническую систему можно получить из канонических систем исходных функций.

Пример 1. Автоматные функции f₁ и f₂ заданы соответственно каноническими системами

Требуется получить каноническую систему и нарисовать схему из функциональных элементов и элементов единичной задержки для автомата, вычисляющего суперпозицию f₂( f₁).

Схемы автоматов, вычисляющих функции f₁ и f₂, приведены на рисунке. В первой схеме используется функциональные элементы инвертор и конъюнктор, а во второй – дизъюнктор. Кроме того, прямоугольником на схемах обозначены элементы единичной задержки. Надписи около их входов и выходов указывают, что в начале t-го такта им на вход поступает сигнал q(t), «выталкивая» при этом на выход сигнал q(t – 1).

На нижнем рисунке представлена схема автомата, вычисляющего суперпозицию f₂( f₁). Он имеет два входа и один выход и получается в результате последовательного соединения исходных автоматов.

Каноническая система полученного автомата имеет вид

Она получается в результате объединения двух исходных систем. При этом из первой системы удалено первое уравнение, a его правая часть подставлена вместо х(t) во вторую cистему. Кроме того, полученная каноническая система содержит две функции переходов.

Определение. Говорят, что автоматная функция f  зависит с запаздыванием от аргумента х₁, если для любого набора из n входных последовательностей и любого момента времени t элемент y(t) выходной последовательности = f  не зависит от элемента x₁(t) входной последовательности .

Если имеется автомат, вычисляющий сразу т автоматных функций f₁, f₂,…, f_т, каждая из которых зависит от п аргументов х₁, х₂,…, х_n, и при этом f_j зависит от х_k с запаздыванием, то в этом автомате можно ввести обратную связь по паре переменных (f_j, х_k). Операция введения обратной в данном случае заключается в том, что сигнал с j-го выхода направляется на k-й вход. В результате получается автомат, вычисляющий (m – 1) автоматных функций от (n – 1) аргументов.

Пример. Рассмотрим автомат, схема которого изображена на рисунке. Он вычисляет две функции f₁ и f₂ от двух аргументов х₁ и х₂. Убедившись, что f₂ зависит от х₁ с запаздыванием, требуется ввести обратную связь по паре переменных ( f₂, х₁) и написать каноническую систему полученного автомата.

Прежде всего запишем каноническую систему исходного автомата. Она имеет вид

Поскольку переменная х₁(t) является фиктивной для булевой функции у₂(t), то автоматная функция f₂ зависит от х₁ с запаздыванием. Следовательно, можно ввести обратную связь по паре переменных ( f₂, х₁). В итоге получим автомат с одним входом и одним выходом. Поскольку в ней присутствуют два элемента единичной задержки, то полученный автомат имеет не более четырех состояний. Его каноническая система имеет вид

Она получается из исходной канонической системы, если в ней всюду х₁(t) заменить правой частью уравнения для у₂(t), а само это уравнение удалить из системы.

39