49. Эквивалентные состояния автомата-преобразователя, эквивалентные автоматы- преобразователи, минимизация автоматов- преобразователей, алгоритм Мили.

Особый интерес представляет автомат с наименьшим числом состояний, т.к. он имеет самое простое описание. Задача построения такого автомата называется задачей минимизации автомата.

Определение. Состояния v_k и v_i автоматов Т и Т΄ соответственно называются эквивалентными, если для любого входного слова γ А^* выходные слова Т(γ, v_k) и Т΄(γ, v_i) совпадают.

Определение. Два автомата с общими входным и выходным алфавитами называются эквивалентными, если для каждого состояния первого автомата найдется эквивалентное ему состояние второго автомата, и наоборот.

Определение. Автомат называется минимальным, если все его состояния попарно неэквивалентны.

Задача минимизации состоит в построении минимального автомата, эквивалентного заданному. Очевидно, такой минимальный автомат существует для любого детерминированного конечного автомата. Чтобы его найти, сначала используют алгоритм Мили, позволяющий разбить все состояния исходного автомата на классы эквивалентности, а затем каждый класс эквивалентности объявляют состоянием искомого минимального автомата и получают его функции выходов и переходов.

Пусть имеется автомат-распознаватель R с множеством заключительных состояний F. Через R(γ, v_k) обозначим состояние, в котором окажется автомат, если он начинает работу над входным словом γ А^* в состоянии v_k.

Определение. Состояния v_k и v_i автоматов R и R΄ называются эквивалентными, если для любого входного слова γ А^* либо оба состояния R(γ, v_k) и R΄(γ, v_i) одновременно являются заключительными, либо незаключительными.

Состояния v_k и v_i следует считать неэквивалентными, если найдется такое входное слово γ А^*, для которого только одно из состояний R(γ, v_k) и R΄(γ, v_i) заключительное. Говорят, что такое входное слово позволяет различить состояния v_k и v_i.

Эквивалентность двух автоматов-распознавателей означает совпадение языков, которые они распознают.

Используя с небольшими изменениями алгоритм Мили, все состояния автомата-преобразователя можно разбить на классы эквивалентности. Отличие состоит в том, что на первом этапе множество состояний V разбивается всегда на два класса – множество F заключительных состояний и множество V \ F всех остальных состояний. После окончательного разбиения множества V на классы эквивалентности можно решить задачу минимизации заданного автомата.

Пример. Минимизируем автомат, заданный таблицей переходов, в предположении, что начальным состоянием является 1, а заключительным – состояние 6.

	a	b	с
1	3	4	1
2	4	5	6
3	2	6	5
4	2	6	4
5	2	6	3
6	1	3	2

П е р в ы й э т а п. Множество состояний V разбивается на два класса C₁ = {6} и C₂ = {1, 2, 3, 4, 5}, поскольку состояние 6 заключительное, а остальные – нет.

В т о р о й э т а п. Класс C₁ не расщепляется, поскольку содержит только одно состояние. Класс C₂ расщепляется на классы C₃ = {1}, C₄ = {2} и C₅ = {3, 4, 5}. Состояния 3, 4 и 5 попали в один класс C₅, т.к. из всех этих состояний по входным символам а и с автомат переходит в состояния класса C₂, а по символу b – в единственное состояние класса C₁.

Состояние 2 и группа состояний 1, 3, 4 и 5 при расщеплении C₂ попали в разные классы, поскольку из состояния 2 по входному символу с автомат переходит в состояние 6, принадлежащее классу C₁, а из состояний 1, 3, 4 и 5 – в состояния класса C₂.

Состояние 1 и группа состояний 3, 4 и 5 оказались в разных классах, поскольку из состояния 1 по входному символу b автомат переходит в состояние 4, принадлежащее классу C₂, а из состояний 3, 4 и 5 – в состояние 6, принадлежащее классу C₁.

Т р е т и й э т а п. Ни одно из множеств C₁ = {6}, C₃ = {1}, C₄ = = {2} и C₅ = {3, 4, 5} не расщепляется. Они являются классами эквивалентных состояний. Следовательно, эквивалентный исходному минимальный автомат имеет четыре состояния. Пусть его состояние 1 соответствует классу C₃, состояние 2 – классу C₄, состояние 3 – классу C₅, а состояние 4 – классу C₁. Тогда искомый минимальный автомат можно задать таблицей переходов.

	a	b	с
1	3	3	1
2	3	3	4
3	2	4	3
4	1	3	2

Она получается из предыдущей таблицы вычеркиванием строк, соответствующих состояниям 4 и 5, и заменой в оставшихся строках состояний 4 и 5 на состояние 3, а состояния 6 на 4. Начальным состоянием минимального автомата является состояние 1, а заключительным – 4.

Когда требуется выяснить, эквивалентны ли два заданных автомата, достаточно их минимизировать и сравнить полученные автоматы. Если они имеют разное число состояний, то исходные автоматы не эквивалентны. Эквивалентными они будут только тогда, когда функции выходов и переходов их минимальных автоматов совпадают с точностью до переобозначения состояний.