3. Основные операции над графами, неравенства для числа вершин, ребер и компонент связности графа.

Графом G называется пара (V, E), где – непустое множество вершин графа, а – множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Утверждение. Если в графе количество вершин n ≥ 2, то в нем найдутся хотя бы две вершины с одинаковой степенью.

Утверждение. Для любого графа G = (V,E) с n вершинами и m ребрами справедливо равенство т.е. сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер.

К графам или отдельным его элементам могут применяться следующие операции:

• добавление ребра, соединяющего две несмежные вершины;

• удаление ребра (концы ребра сохраняются);

• добавление вершины;

• удаление вершины (вместе с инцидентными ей ребрами);

• отождествление двух несмежных вершин (все ребра, инцидентные отождествляемым вершинам, сохраняются и становятся инцидентными полученной вершине; если при этом возникают кратные ребра, они заменяются одним ребром);

• подразбиение ребра [u,v] (сначала добавляются новая вершина w и новые ребра [u,w], [w,v], затем удаляется ребро [u,v]);

• стягивание ребра [u,v] (сначала удаляется ребро [u,v], а затем вершины u и v отождествляются);

• объединение графов и (в результате получается граф U , вершинами и ребрами которого являются вершины и ребра графов и ).

Определение. Граф называется связным, если в нем любые две вершины соединены цепью.

Определение. Говорят, что граф состоит из k компонент связности, если его можно представить как объединение k связных графов, не имеющих общих вершин.

Определение. Мостом в графе называется ребро, при удалении которого увеличивается количество компонент связности этого графа.

Утверждение 1. Количество ребер m в любом связном n-вершинном графе удовлетворяет неравенствам .

Утверждение 2. Если n-вершинный граф состоит из k компонент связности, то количество его ребер m удовлетворяет неравенствам .

4. Типы графов, дополнительные графы, двудольные графы, критерий двудольности.

Графом G называется пара (V, E), где – непустое множество вершин графа, а – множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Определение. Полный n-вершинный граф (клика) – это граф, в котором любые две вершины соединены ребром (обозначается );

Определение. Нулевой n-вершинный граф – это граф без ребер (обозначается );

Определение. Граф называется связным, если в нем любые две вершины соединены цепью.

Определение. Двудольный граф – это граф, множество вершин которого можно так разбить на два непересекающихся подмножества (доли) и , что никакие две вершины из одной доли не смежны;

Утверждение. Критерий двудольности графа - необходимо и достаточно, чтобы в этом графе все циклы имели четную длину.

Определение. Полный двудольный граф – это двудольный граф, в котором каждая вершина из доли смежна каждой вершине из доли (обозначается , где n, m – количество вершин в и ).

Определение. Дополнительным графом к n-вершинному графу называется граф с тем же множеством вершин, не имеющий с графом общих ребер, и такой, что U .