33. Основные комбинаторные операции, сочетания и размещения (с возвращением и без возвращения элементов).

Определение. Выборка – это простейшая комбинаторная операция, применяемая к заданному множеству и состоящая в том, что из этого множества выбирается произвольный элемент. Если выбранный элемент удаляют из исходного множества, то такую операцию называют выборкой без возвращения. Если же элемент остается в исходном множестве, то такая выборка называется выборкой с возвращением.

Определение. Повторная выборка k элементов из n-элементного множества без возвращения и без упорядочения называется сочетанием из n по k.

Определение. Повторная выборка k элементов из n-элементного множества без возвращения, но с упорядочением, называется размещением из n по k.

Утверждение. Число различных сочетаний из n по k обозначается через , .

Утверждение. Число различных размещений из n по k обозначается через ,

Утверждение. Число различных размещений с повторениями из n элементов по k, где k = 0, 1, 2,…, равно .

Утверждение. Число различных сочетаний с повторениями из n элементов по k, где k=0,1,2,…, равно .

Выборки из n по k	Без возвращения (0 ≤ k ≤ n)	С возвращением
С упорядочением	Размещения	Размещения с повторениями
Без упорядочения	Сочетания	Сочетания с повторениями

34. Комбинаторные принципы сложения, умножения, дополнения, включения-исключения.

Комбинаторный принцип сложения. Суть этого метода в следующем: пусть требуется вычислить количество элементов в некотором множестве В. Если данное множество можно разбить на несколько непересекающихся подмножеств В₁, В₂, …, В_m и найти их мощности, то число элементов во множестве В можно получить сложением мощностей подмножеств В₁, В₂, …, В_m, т.е. .

Комбинаторный принцип умножения. Пусть |A| = p, |B| = q, тогда существует ровно различных пар, в которых первый элемент взят из множества А, а второй элемент – из множества В.

Комбинаторный принцип включения – исключения является обобщением принципа сложения. Он применяется даже тогда, когда принцип сложения не работает, а именно, если исходное множество является объединением двух и более пересекающихся подмножеств. В самом простом виде принцип включения – исключения основывается на очевидном соотношении . Также имеет место равенство:

35. Биномиальные коэффициенты, их свойства, бином Ньютона.

Комбинаторные числа сочетаний , где k = 0,1,2,…, n называют биномиальными коэффициентами, поскольку они связаны с биномом Ньютона (x + y)ⁿ. Для любого натурального n выполняется равенство:

.

Пример. Требуется вычислить коэффициент при а⁹ после раскрытия скобок в выражении (4а – 5)¹¹.

В формуле положим . Тогда получим . Интересующее нас слагаемое, содержащее а⁹, получается при k = 2 и имеет вид . Отсюда следует, что искомый коэффициент равен .

Биномиальные коэффициенты обладают многими свойствами, среди которых наиболее важными являются следующие:

,

,

,

.

36. Треугольник Паскаля, полиномиальная формула.

Комбинаторные числа сочетаний , где k = 0,1,2,…, n называют биномиальными коэффициентами, поскольку они связаны с биномом Ньютона (x + y)ⁿ. Для любого натурального n выполняется равенство:

.

Треугольник Паскаля.

На основе свойства из биномиальных коэффициентов построен треугольник Паскаля.

Этот треугольник состоит из бесконечного числа горизонтальных рядов, которые для удобства будем нумеровать числами n = 0, 1, 2, 3 и т.д., а элементы каждого ряда - слева направо числами k = 0, 1, 2, …, n. Тогда правило построения этого треугольника Паскаля можно сформулировать так: начальный и конечный элементы каждого ряда равны 1, а k-й элемент n-го ряда при k = 1, 2, …, n – 1 и при n = 2, 3, 4 и т.д. равен сумме (k – 1)-го и k-го элемента (n – 1)-го ряда. Тогда согласно свойству , если k = 0, 1, 2, …, n, а n = 0, 1, 2, 3 и т.д., то k-й элемент n-го ряда равен . Из формулы вытекает свойство симметричности треугольника Паскаля относительно вертикальной прямой, проходящей через его вершину. Эта симметричность выражается в том, что совпадают элементы, стоящие в одном ряду на одинаковом расстоянии от концов ряда. Из формулы следует, что сумма всех элементов n-го ряда равна 2ⁿ, а из получается, что в каждом ряду суммы элементов, стоящих на четных и нечетных местах, равны между собой.

Полиномиальная формула.

Обобщением биномиальной формулы является полиномиальная формула

.

Каждый числовой коэффициент называется полиномиальным коэффициентом. Он равен числу различных вариантов упорядоченного разбиения n-элементного множества на k непересекающихся подмножеств мощности n₁, n₂, n₃,…, n_k. При k = 2 равенство обращается в формулу для бинома Ньютона.

Пример. Требуется вычислить коэффициент при с¹⁷ после раскрытия скобок в выражении (1+2с – с³)¹⁰.

После раскрытия скобок в выражении (1+2с − с³)¹⁰ получится различных слагаемых, причем максимальный показатель степени переменной с будет равен 30. В формуле (40) положим х₁ = 1, х₂ = 2с, х₃ = − с³, n = 10. Получим равенство , где суммирование в правой части ведется по всем наборам целых неотрицательных чисел (n₁, n₂, n ₃) таких, что n₁+ n₂ + n ₃ = 10. Очевидно, что каждое слагаемое в правой части содержит множитель вида . Поскольку нас интересует коэффициент при с¹⁷, то необходимо рассмотреть все целочисленные неотрицательные решения уравнения n₂ + 3n₃ = 17, удовлетворяющие дополнительному условию . Таких решений всего два: n₂ = 2, n₃ = 5 и n₂ = 5, n₃ = 4. Соответствующие значения n₁ =  3 и n₁ = 1, а числовые коэффициенты при с¹⁷ будут равны соответственно и . Следовательно, искомый коэффициент равен 40320 – 10080 = 30240.

Теория кодирования