28. Замкнутые классы булевых функций s и м, леммы о несамодвойственной и немонотонной функции.

Определение. Функция от n аргументов называется булевой функцией (или функцией алгебры логики), если каждому набору она ставит в соответствие число .

Для задания булевых функций мы будем использовать таблицы, векторы, формулы и графики. Примем следующее обозначение: – это множество всех набо­ров , где .

Определение. Класс К булевых функций называется замкнутым классом, если любая суперпозиция функций из этого класса сама принадлежит классу К.

Определение. Булева функция называется самодвойственной, если для любого набора выполняется равенство .

Определение. Набор называется противоположным по отношению к набору . Тогда из определения самодвойственной функции следует, что на противоположных наборах она принимает противоположные значения. Класс всех самодвойственных функций - S. Количество различных самодвойственных функций от n переменных равно .

Определение. Булева функция называется монотонной, если для любой пары наборов и , из которых набор предшествует набору , выполняется неравенство . Класс всех монотонных функций – M. Число различных монотонных функций не определено.

Лемма. Из любой несамодвойственной функции, подставляя вместо её аргументов функции х и , можно получить тождественную константу 0 или 1.

Лемма. Из любой немонотонной функции, подставляя вместо её аргументов константы 0 и 1 и функцию х, можно получить функцию .

29. Полная система функций, теорема о двух системах булевых функций.

Определение. Функция от n аргументов называется булевой функцией (или функцией алгебры логики), если каждому набору она ставит в соответствие число .

Для задания булевых функций мы будем использовать таблицы, векторы, формулы и графики. Примем следующее обозначение: – это множество всех набо­ров , где .

Определение. Замыканием системы F булевых функций называется множество всех функций, представимых в виде формул через функции множества F. Замыкание F будем обозначать через [F].

Определение. Система F булевых функций называется полной системой, если [F] = Р₂, т.е. любую булеву функцию можно задать формулой через функции системы F.

Лемма. Пусть имеются две системы функций F и G, причем система F полна, и каждая функция из этой системы выражается в виде формулы через функции системы G. Тогда G – полная система.

Пример. Рассмотрим систему функций G =  . Каждая функция полной системы F =  представима своим полиномом Жегалкина, т.е. формулой через функции системы G: . Следовательно, G =  – полная система.

30. Теорема Поста о полноте системы булевых функций, алгоритм проверки системы на полноту, базис.

Определение. Функция от n аргументов называется булевой функцией (или функцией алгебры логики), если каждому набору она ставит в соответствие число .

Для задания булевых функций мы будем использовать таблицы, векторы, формулы и графики. Примем следующее обозначение: – это множество всех набо­ров , где .

Определение. Замыканием системы F булевых функций называется множество всех функций, представимых в виде формул через функции множества F. Замыкание F будем обозначать через [F].

Определение. Система F булевых функций называется полной системой, если [F] = Р₂, т.е. любую булеву функцию можно задать формулой через функции системы F.

Теорема. Система булевых функций полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном из пяти классов Т₀, Т₁, S, M и L.

Пример. Система, состоящая из одной только функции штрих Шеффера , является полной, поскольку она не принадлежит ни одному из пяти классов Т₀, Т₁, S, M и L. В то же время система всех булевых функций от одного аргумента {0,1,x, } неполна, так как все эти функции линейны. Из теоремы о полноте следует, что любой неполный замкнутый класс целиком содержится хотя бы в одном из пяти классов Т₀, Т₁, S, M и L, так как если бы некоторый неполный замкнутый класс не лежал целиком ни в одном из классов Т₀, Т₁, S, M и L, то он образовывал бы полную систему. Таким образом, классы Т₀, Т₁, S, M и L в некотором смысле являются максимальными во множестве Р₂ неполными замкнутыми классами.

Определение. Класс булевых функций K называется предполным классом, если сам он не образует полной системы, но для любой булевой функции система полна.

Определение. Система булевых функций называется базисом класса Р₂, если эта система полна, а после удаления из неё любой функции оставшаяся система будет неполна.