24. Разложение булевых функций в сднф и скнф.

Определение. Функция от n аргументов называется булевой функцией (или функцией алгебры логики), если каждому набору она ставит в соответствие число .

Для задания булевых функций мы будем использовать таблицы, векторы, формулы и графики. Примем следующее обозначение: – это множество всех набо­ров , где .

Теорема. Каждую булеву функцию можно представить в виде дизъюнктивной формы: , где 1 ≤ m ≤ n.

Определение. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) функции – логическая сумма (дизъюнкция) нескольких слагаемых, каждое из которых является конъюнкцией n множителей: .

С помощью СДНФ можно задать любую булеву функцию, кроме тождественного нуля.

Определение. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) - это логическое произведение (конъюнкция) нескольких множителей, каждый из которых является дизъюнкцией n слагаемых: .

С помощью СКНФ можно задать любую булеву функцию, кроме тождественной единицы.

Пример. Функция «голосования» всегда принимает то значение, которое принимает большинство её аргументов.

x y z f (x,y,z) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

Перейдя к табличному заданию этой функции, выделим те наборы, на которых она обращается в единицу. Это наборы (011), (101), (110) и (111). СДНФ функции «голосования» будет иметь четыре слагаемых: . На остальных четырех наборах функция h(x,y,z) обращается в ноль. СКНФ функции «голосования» будет иметь четыре множителя: .

25. Минимизация днф и кнф методом эквивалентных преобразований.

Определение. Функция от n аргументов называется булевой функцией (или функцией алгебры логики), если каждому набору она ставит в соответствие число .

Для задания булевых функций мы будем использовать таблицы, векторы, формулы и графики. Примем следующее обозначение: – это множество всех набо­ров , где .

Теорема. Каждую булеву функцию можно представить в виде дизъюнктивной формы: , где 1 ≤ m ≤ n.

Определение. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) функции – логическая сумма (дизъюнкция) нескольких слагаемых, каждое из которых является конъюнкцией n множителей: .

С помощью СДНФ можно задать любую булеву функцию, кроме тождественного нуля.

Определение. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) - это логическое произведение (конъюнкция) нескольких множителей, каждый из которых является дизъюнкцией n слагаемых: .

С помощью СКНФ можно задать любую булеву функцию, кроме тождественной единицы.

Утверждение. ДНФ и КНФ отличаются от СДНФ и СКНФ тем, что в них не все переменные обязательно входят в каждое слагаемое (множитель).

Пример. Функция «голосования» всегда принимает то значение, которое принимает большинство её аргументов.

x y z f (x,y,z) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

Перейдя к табличному заданию этой функции, выделим те наборы, на которых она обращается в единицу. Это наборы (011), (101), (110) и (111). СДНФ функции «голосования» будет иметь четыре слагаемых: . На остальных четырех наборах функция h(x,y,z) обращается в ноль. СКНФ функции «голосования» будет иметь четыре множителя: .

Минимальные ДНФ и КНФ можно получить путем преобразования совершенных ДНФ и КНФ с помощью тождеств.

СДНФ функции «голосования» можно привести к более простой дизъюнктивной форме: .

СКНФ функции «голосования» можно привести к более простой конъюнктивной форме, состоящей из трех множителей: .