21. Существенные и фиктивные переменные булевых функций, основные тождества, эквивалентные преобразования формул.

Определение. Функция от n аргументов называется булевой функцией (или функцией алгебры логики), если каждому набору она ставит в соответствие число .

Для задания булевых функций мы будем использовать таблицы, векторы, формулы и графики. Примем следующее обозначение: – это множество всех набо­ров , где .

Определение. Переменная x_i называется существенной переменной функции , если существует такой набор , для которого выполняется соотношение .

Определение. Переменная x_i называется несущественной (или фиктивной) переменной функции , если для любого на­бора выполняется равенство .

К числу основных тождеств относятся следующие:

(2) ,	(10) ,
(3) ,	(11) ,
(4) ,	(12) ,
(5) ,	(13) – первое правило де Моргана,
(6) ,
(7) ,	(14) – второе правило де Моргана.
(8) ,
(9) ,

.

.

.

.

.

.

Преобразования, выполненные на основе данных формул, называются эквивалентными.

22. Линейные и нелинейные полиномы Жегалкина, разложение булевых функций в полином Жегалкина методом неопределенных коэффициентов.

Определение. Функция от n аргументов называется булевой функцией (или функцией алгебры логики), если каждому набору она ставит в соответствие число .

Для задания булевых функций мы будем использовать таблицы, векторы, формулы и графики. Примем следующее обозначение: – это множество всех набо­ров , где .

Определение. Полиномом Жегалкина от переменных называется сумма по модулю 2, в которой каждое слагаемое является константой 0 или 1 либо одной из переменных , либо логическим произведением (конъюнкцией) нескольких различных переменных .

Определение. Полином, в котором отсутствуют произведения переменных, называется линейным полиномом. Линейный полином Жегалкина от n переменных может иметь самое большее n + 1 слагаемых.

Теорема. Каждая булева функция от n переменных представима полиномом Жегалкина от этих же переменных.

Разложение методом неопределенных коэффициентов. Полином Жегалкина от двух аргументов х₁ и х₂ содержит не более 4 слагаемых и может быть записан в общем виде , где коэффициенты – константы 0 или 1.

Пример. Пусть требуется построить полином Жегалкина для функции . В общем виде его можно записать с неопределенными коэффициентами следующим образом: .

Так как х₂ – фиктивная переменная данной функции, то в её полином Жегалкина переменная х₂ в явном виде не входит, значит, . Оставшиеся четыре коэффициента найдем из системы уравнений.

Получаем . Таким образом, заданная функция представима полиномом Жегалкина , который не относится к числу линейных полиномов.

23. Линейные и нелинейные полиномы Жегалкина, разложение булевых функций в полином Жегалкина методом эквивалентных преобразований.

Определение. Функция от n аргументов называется булевой функцией (или функцией алгебры логики), если каждому набору она ставит в соответствие число .

Для задания булевых функций мы будем использовать таблицы, векторы, формулы и графики. Примем следующее обозначение: – это множество всех набо­ров , где .

Определение. Полиномом Жегалкина от переменных называется сумма по модулю 2, в которой каждое слагаемое является константой 0 или 1 либо одной из переменных , либо логическим произведением (конъюнкцией) нескольких различных переменных .

Определение. Полином, в котором отсутствуют произведения переменных, называется линейным полиномом. Линейный полином Жегалкина от n переменных может иметь самое большее n + 1 слагаемых.

Теорема. Каждая булева функция от n переменных представима полиномом Жегалкина от этих же переменных.

Разложение методом эквивалентных преобразований. Полином Жегалкина можно построить с помощью эквивалентных преобразований. Для этого необходимо сначала построить ДНФ или КНФ функции, а затем преобразовать получившееся выражение, приводя его действия к виду . В итоге должна получиться сумма по модулю 2, в которой каждое слагаемое является константой 0 или 1 либо одной из переменных .