Дискретная математика

Оглавлени

Дискретная математика 1

Теория графов 3

1. Основные понятия теории графов, удаленность вершины, центр, радиус и диаметр графа. 3

2. Способы задания графов, свойства матриц смежности и инциденций, теорема о рукопожатиях. 3

3. Основные операции над графами, неравенства для числа вершин, ребер и компонент связности графа. 4

4. Типы графов, дополнительные графы, двудольные графы, критерий двудольности. 5

5. Обходы графов: эйлеровы цепи и циклы, необходимые и достаточные условия их существования, алгоритм Флери. 5

6. Обходы графов: гамильтоновы цепи и циклы, достаточные условия их существования. 5

7. Деревья, их свойства, кодирование деревьев, остовные деревья. 6

8. Экстремальные задачи теории графов: минимальное остовное дерево, алгоритмы Прима и Краскала. 6

9. Экстремальные задачи теории графов: задача коммивояжера, «жадный» алгоритм 7

10. Экстремальные задачи теории графов: задача о кратчайшем пути, алгоритм Дейкстры. 7

11. Изоморфизм и гомеоморфизм графов, методы доказательства изоморфности и неизоморфности графов. 7

12. Плоские укладки графов, планарные графы, критерий Понтрягина-Куратовского. 8

13. Необходимые условия планарности, формула Эйлера для планарных графов. 8

14. Правильные вершинные раскраски графов, хроматическое число, неравенства для хроматического числа. 8

15. Теорема о пяти красках, гипотеза четырех красок, «жадный» алгоритм. 9

16. Хроматический многочлен, его нахождение и свойства. 9

17. Задача о поиске выхода из лабиринта, реберная раскраска графа. 10

18. Ориентированные графы, источники и стоки, топологическая сортировка, алгоритм Демукрона. 10

19. Составление расписания выполнения комплекса работ в кратчайшие сроки методами теории графов. 10

Теория булевой алгебры 11

20. Элементарные булевы функции и способы их задания (табличный, векторный, формульный, графический, карта Карно). 11

21. Существенные и фиктивные переменные булевых функций, основные тождества, эквивалентные преобразования формул. 12

22. Линейные и нелинейные полиномы Жегалкина, разложение булевых функций в полином Жегалкина методом неопределенных коэффициентов. 13

23. Линейные и нелинейные полиномы Жегалкина, разложение булевых функций в полином Жегалкина методом эквивалентных преобразований. 13

24. Разложение булевых функций в СДНФ и СКНФ. 14

25. Минимизация ДНФ и КНФ методом эквивалентных преобразований. 14

26. Минимизация ДНФ и КНФ с помощью карт Карно. 15

27. Замкнутые классы булевых функций Т₀, Т₁, L, лемма о нелинейной функции. 15

28. Замкнутые классы булевых функций S и М, леммы о несамодвойственной и немонотонной функции. 16

29. Полная система функций, теорема о двух системах булевых функций. 16

30. Теорема Поста о полноте системы булевых функций, алгоритм проверки системы на полноту, базис. 17

31. Схемы из функциональных элементов, правила построения и функционирования, метод синтеза СФЭ, основанный на СДНФ и СКНФ. 17

32. Метод синтеза СФЭ, основанный на компактной реализации всех конъюнкций с помощью универсального многополюсника, сложность получаемых схем. 17

Элементы комбинаторики 18

33. Основные комбинаторные операции, сочетания и размещения (с возвращением и без возвращения элементов). 18

34. Комбинаторные принципы сложения, умножения, дополнения, включения-исключения. 19

35. Биномиальные коэффициенты, их свойства, бином Ньютона. 19

36. Треугольник Паскаля, полиномиальная формула. 19

Теория кодирования 20

37. Алфавитное кодирование: необходимое и достаточные условия однозначности декодирования. 20

38. Алфавитное кодирование: теорема Маркова, алгоритм Маркова. 21

39. Коды с минимальной избыточностью (коды Хаффмана), метод построения. 22

40. Линейные коды, порождающая матрица, двойственный код. 23

41. Самокорректирующиеся коды (коды Хэмминга), метод построения. 23

Теория автоматов 24

42. Определение, схема и функционирование абстрактного автомата, способы задания автоматов. 24

43. Типы конечных автоматов, автоматы Мили и Мура, автоматы-генераторы. 26

44. Слова и языки, операции над ними, их свойства. 26

45. Регулярные выражения и регулярные языки, теорема Клини. 27

46. Задача анализа автоматов-распознавателей. 28

47. Задача синтеза автоматов-распознавателей. 29

48. Эквивалентные состояния автомата-распознавателя, эквивалентные автоматы-распознаватели, минимизация автоматов-распознавателей, алгоритм Мили. 31

49. Эквивалентные состояния автомата-преобразователя, эквивалентные автоматы- преобразователи, минимизация автоматов- преобразователей, алгоритм Мили. 33

50. Детерминированные и недетерминированные функции, примеры, способы задания. 33

51. Ограниченно-детерминированные (автоматные) функции, способы их задания. 34

52. Логические автоматы, способы их задания, синтез двоичного сумматора. 35

53. Операции над логическими автоматами: суперпозиция и введение обратной связи. 36

Теория графов

1. Основные понятия теории графов, удаленность вершины, центр, радиус и диаметр графа.

Графом G называется пара (V, E), где – непустое множество вершин графа, а – множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Пусть ребро е соединяет вершины u и v. В этом случае пишут e = [u,v] и говорят, что u и v являются концами ребра е; вершины u и v смежны; вершины u и v инцидентны ребру е, ребро е инцидентно вершинам u и v. Определение. Степенью вершины называется количество инци­дентных ей ребер. Определение. Вершина называется изолированной, если она не инцидентна ни одному ребру; вершина называется концевой, если ей инцидентно только одно ребро.

Рис.1

Утверждение. Если в графе количество вершин n ≥ 2, то в нем найдутся хотя бы две вершины с одинаковой степенью.

Утверждение. Для любого графа G = (V,E) с n вершинами и m ребрами справедливо равенство т.е. сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер.

Определение. Последовательность ребер , в которой все ребра различны, называется цепью длины k, соединяющей вершины и . При этом вершины и называются концами цепи.

Определение. Расстоянием между вершинами u и v называется число , равное длине кратчайшей цепи, соединяющей вершины u и v.

Определение. Эксцентриситетом вершины u называется число , равное максимальному расстоянию от вершины u до остальных вершин графа, т.е. .

Определение. Радиусом графа G называется число r(G), равное минимальному эксцентриситету его вершин, т.е. .

Определение. Диаметром графа G называется число d(G), равное максимальному эксцентриситету его вершин, т.е. .

Известно, что для любого графа G выполняется соотношение .

Определение. Центром графа G называется множество его вершин, имеющих минимальный эксцентриситет.

Пример 2. Рассмотрим граф G, изображенный на рис.2. Эксцентриситеты его вершин: . Следовательно, его радиус и диаметр r(G) = 2, d(G) = 4, а центр – вершина .

Рис.2

2. Способы задания графов, свойства матриц смежности и инциденций, теорема о рукопожатиях.

Графом G называется пара (V, E), где – непустое множество вершин графа, а – множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Способы представления графов:

• Текстовый

• Графический

• Матрицами

Определение. Матрицей смежности n-вершинного графа называется квадратная матрица размера n, такая что

Матрица смежности любого графа обладает следующими свойствами:

• она симметрична относительно главной диагонали;

• на её главной диагонали стоят нули;

• сумма элементов i-й строки (i-го столбца) равна deg(v_i), т.е. количеству ребер, инцидентных вершине v_i.

В матрице инциденций всегда выполнены следующие условия:

• сумма элементов любого её столбца равна двум;

• сумма элементов i-й строки равна deg(v_i).

Определение. Матрицей инциденций n-вершинного графа с m ребрами называется матрица размера n т, такая что

Для графа на рис.1 с указанной там нумерацией вершин матрица смежности имеет вид Если его ребра пронумеровать , , , , то матрица инциденций этого графа будет иметь вид

Рис.1

Утверждение. Для любого графа G = (V,E) с n вершинами и m ребрами справедливо равенство т.е. сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер.

Теорема о рукопожатиях – в любом графе число вершин нечетной степени четно (если кто-то с кем-то обменялся рукопожатием, число «пожатых рук» четно).