§ 2. Построение множества эффективных решений.

Определение области компромиссов возможно принципиально двумя различными путями :

а) путем определения области согласия ^S и исключения её из области возможных решений .

б) путем выделения области компромиссов на основе её свойств

^С = / ^S

Способ а)

F₂

opt F = max F

F₁

Выделение области компромиссов это важный практический этап решения задач векторной оптимизации, т. к. позволяет существенно сузить область возможных решений, что уже позволяет улучшить качество принимаемых решений. Кроме того в задачах со строгим противоречием критериев области согласия нет и область возможны решений является областью компромиссов  = ^С.

Способ б)

Справедлива теорема о том, что если функции F_i( W) вогнуты, а множество  замкнуто и выпукло, то для любого оптимума Парето W*  ^С существует неотрицательные числа (взвешивающие коэффициенты) _i (i = I, m), _i= 1 , не все равные нулю и такие, что максимум суммы F_i( W) на ^С достигается в точке W*. Обратно, если все взвешивающие коэффициенты положительны и  i = 1, то вектор максимизирующий взвешенную сумму локальных целевых функций на допустимом множестве д, оптимален по Парето.

Концепция оптимума по Парето и приведенная теорема создают научную основу для моделей свертки критериев. Сужение исходного множества эффективных решений ^С (рис. ) существенно упрощает дальнейший выбор единственного решения W*  ^С_.В ряде случаев процесс принятия решений просто заканчивается нахождением ^С, а дальнейший выбор W*Э не производится.

Для построения множества эффективных решений ^С (МЭР) часто используется простой инженерный прием случайного или регулярного перебора значений _i [0, 1],  _i = 1, входящих в качестве весовых коэффициентов в модели сверток ( ) . Для каждого набора {_i} выполняется поиск эффективной точки W*  ^С_.Практически можно ограничиться определением нескольких эффективных точек W_Э  ^С. В случае, если необходимо найти одно единственное решение W* = W_Э  ^С, то в качестве коэффициентов _i* используются заданные «веса» приоритета критериев, найденные, например, методом экспертных оценок.

§ 3. Выбор принципа оптимальности.

Итак, в области компромиссов сравнение и выбор решений осуществляется на основе некоторой схемы компромисса соответствующей реальной ситуации принятия решения. В каждом конкретном случае выбор сх. Компромисса должен осуществляться с учетом конкретных особенностей объекта векторной оптимизации.

В основе выбора принципа оптимальности лежит понятие аксиоматика компромисса, т.е набора аксиом, которые строго определяют схемы компромисса, принцип на основе которого проводится упорядочивание пространства критериев и выбора оптимального решения F₀. Тогда задача решения становится формализованной , а выбор оптимального решения - чисто техническим делом.

Обычно человек, анализируя ситуацию и из предлагаемого набора аксиоматик выбирает наиболее подходящую.

Рассмотрим основные принципы компромисса и соответствующие им схемы компромисса. При этом будем считать, что критерии приведены к нормальному без приоритета вида и рассматривается задача.

I . Принцип равномерности. Когда критерии нормализованы и одинаковы по важности, естественно стремиться равномерно и гармонично повысить качество всех локальных критериев. Могут быть различные модификации этого принципа.

а) принцип равенства:

opt F=F₁,F₂...=F_mF_c.

т.е. равенство всех критериев при максимизации

Данный принцип является чрезмерно жестким, может приводить к решению вне области компромиссов и даже совсем не иметь решения, особенно в случае дискретной задачи.

б) Принцип равномерности

optF=max min F_i

F^С j

подтягивание наихудшего из критическим с наименьшим уровнем.

Впервые использовал Чебышев в теории приближения функций - принцип Чебышева или равномерного сближения. Кроме того дает гарантированный уровень min Y_i

в) принцип квазиравенства

opt F = F F_j - F_≤ S j, I

т.е. максимазиция при условии, что уровень критериев будет отличаться друг от друга не более чем на величину S.

2) принцип выделения главного критерия

opt F = max F₁

F^С

при условии, что другие критерии имеют значение не ниже допустимого.

3) Взвешенной