Лекція №2. Представлення чисел в цифрових системах . План

1. Позиційна система числення.

2. Восьмирічні та шістнадцятирічні числа.

3. Переведення чисел з однієї системи числення в іншу.

Цифровые системы строятся на основе схем, в которых происходит обра- ботка двоичных чисел - нулей и единиц. Однако в реальной жизни лишь немногие проблемы можно описать двоичными числами или какими-либо числами вообще. Поэтому проектировщик цифровой системы должен устано­вить некоторое соответствие между двоичными числами, обрабатываемыми в циф­ровых схемах, и числами, событиями и обстоятельствами, относящимися к реаль­ному миру. Цель этой лекции состоит в том, чтобы показать, как знакомые числовые величины, а также нечисловые данные, события и состояния могут быть представ­лены в цифровой системе и как можно оперировать ими внутри этой системы. Булева алгебра, и особенно та ее часть, которую называют прикладной алгеброй логики, в настоящее время получила такое развитие, что в рамках даже небольшого учебного пособия кратко осветить все ее направления овершенно евозможно, в связи с чем здесь включены лишь те разделы, которые имеют наибольшее практическое значение.

Двоичные числа

Всякое число N в позиционной системе счисления с основанием q можно представить в виде полинома

N = a_nqⁿ+a_n-1q^n-1+a_n-2q^n-2+…+a₁q¹+a₀q⁰

Коэффициенты a_n1 a_n-1 a…, стоящие перед степенями, изображают цифры системы счисления. Количество цифр при основании q равно q, т. е в двоичной системе счисления каждый из коэффициентов может принимать значения 0 или 1 Если q = 10, то коэффициенты могут принимать десять начений 0,1,2, … ,9 (десятичная система).

1. Позиційна система числення.

Традиционная система чисел, которой нас научили в школе и которой мы ежед­невно пользуемся, является позиционной системой счисления (positional number system). В такой системе число представляется строкой цифр, в которой каждому разряду приписан определенный вес (weight). Значение числа равно взвешенной сумме его разрядов, например:

1734 = 1*10³+7*10²+3*10¹+4*10⁰

Каждый вес - это степень числа 10, соответствующая положению цифры в стро­ке. Десятичная точка позволяет использовать как положительные, так и отрица­тельные степени числа 10.

В технике, наряду с десятичной, большое распространение получила двоичная система счисления. Основание двоичной системы равно двум, следовательно, в ней имеется только две цифры: 0 и 1. Этими двумя цифрами можно записать любое число. Перевод десятичного числа в двоичную систему поясним на примере числа 37:

37 1

18 0

9 1

4 0

2 0

1 1

В левой колонке каждое следующее число меньше предыдущего вдвое. Если число не делится на два, то его необходимо уменьшить на единицу. В правой колонке единицами отмечены нечётные числа, нулями — чётные. Читая снизу вверх цифры правой колонки, получаем искомое двоичное число:

37₁₀=а₄ а₃ а₂ а₁ а₀.

Для перевода (n + 1)-разрядного двоичного числа в десятичное можно воспользоваться развёрнутой записью числа двоичной системы:

N = a_nqⁿ+a_n-1q^n-1+a_n-2q^n-2+…+a₁q¹+a₀q⁰

Переведём в десятичную систему двоичное число 100101. Согласно его записи имеем:

n=5; a₀=a₂=a₅=1; a₁=a₃=a₄=0

Тогда получим:

100101_2.=1*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=32+4+1=37₁₀.

Над двоичными числами можно выполнять те же операции, что и над десятичными. Главной из них является операция сложения.

Сложение двоичных чисел осуществляется поразрядно, с запоминанием единиц переноса, точно так же, как и в десятичной системе. Поясним это на примере. Пусть a = 101011, b = 101110, найдём их сумму a + b.

Запишем числа a и b одно под другим, совместив

младшие разряды:

1 0 1 0 1 1 - число а

+

___1 0 1 1 1 0 - число b

1 0 1 1 0 0 1 - число а+b

(1) (0) (1) (1) (1) (0) - переносы

Как и в десятичной системе, суммирование начинаем

с младшего разряда:

а) 1 + 0 = 1, переноса нет, под цифрой 1 (младший разряд числа a + b) записываем в скобках нуль;

б) во втором разряде суммируются единицы: 1 + 1 = 10, т. е. сумма равна нулю и есть единица переноса. Записываем её под результирующим нулём второго

разряда суммы;

в) в третьем разряде 0 + 1 = 1, но ещё надо прибавить единицу переноса из второго разряда, тогда 0 + 1 + 1 = 10. Снова сумма равна нулю и есть единица

переноса;

г) в четвёртом разряде суммируются две единицы и к ним прибавляется единица переноса из третьего разряда:

1 + 1 + 1 = 11. В результате сумма равна 1 и есть единица переноса;

д) в пятом разряде 0 + 0 + 1 = 1, т. е. сумма равна единице, переноса нет;

е) в шестом разряде 1 + 1 = 10. Сумма равна нулю, а единица переноса образует седьмой разряд суммы a + b. Это эквивалентно записи 0+0+1=1, если числа a и b

записать в виде a = 0101011, b = 0101110, т. е. удлинить

их путём приписывания слева нулей.

Другие арифметические операции рассматривать не будем, так как в дальнейшем изложении материала они не понадобятся.