Известно также, что
Постройте модель зависимости объема продаж товара А от индекса потребительских цен с включением фактора времени (Y=a1Xt+a2t) и дайте интерпретацию параметров полученной Вами модели.
20. Провести оценку коэффициентов линейной регрессии, если X1-независимая переменная, Y- зависимая:
X1 |
1.2 |
1.7 |
2.1 |
3.4 |
3.2 |
4.1 |
5.5 |
4.9 |
4.3 |
4.0 |
Y |
31 |
30.8 |
29.2 |
28.3 |
27.1 |
26.3 |
26.1 |
28.2 |
28 |
27 |
a) точечную;
б) интервальную, приняв вероятность попадания значения в доверительный интервал равной 90%.
Является ли параметр а1 значимым. Если ДА, то с какой вероятностью ?
21. Бюджетное обследование 12-ти случайно выбранных семей представлено в Таблице. С помощью статистического пакета были оценены коэффициенты факторной модели, определяющей зависимость накоплений индивидуума (S) от величины его ежемесячного дохода (Y) и имеющегося в его распоряжении имущества (W):
S=0.275W+0.543Y
Наблюдение |
Накопления (S) |
Доход (Y) |
Имущество (W) |
1 |
3 |
6 |
3 |
2 |
6 |
10 |
2 |
3 |
5 |
5 |
4 |
4 |
3.5 |
4 |
2 |
5 |
1.5 |
3 |
5 |
6 |
2 |
2 |
3 |
7 |
4.5 |
4 |
7 |
8 |
5 |
5 |
6 |
9 |
2.5 |
3 |
3 |
10 |
1.7 |
3.5 |
2.8 |
11 |
2.7 |
3 |
4 |
12 |
4 |
4.7 |
5 |
Результаты работы статистического пакета:
По построенной модели спрогнозируйте накопления семьи, имеющей имущество стоимостью 4.7 млн. руб. и доход в 4.8 млн. руб. на один период вперед. Представьте точечный и интервальный прогноз, если надежность прогноза равна 95%.
1.1.4 Выявление сезонных и циклических составляющих во временных рядах. Прогнозирование сезонных колебаний во временном ряду.
1. Для прогнозирования объема продаж компании АВС (млн. руб.) на основе поквартальных данных за 1993 –1997 гг. была построена аддитивная модель временного ряда объема продаж. Уравнение, моделирующее динамику трендовой компоненты этой модели, имеет вид: Т=100+2t (при моделировании тренда для моделирования переменной времени использовались натуральные числа, начиная с 1). Показатели за 1996 г., полученные в ходе построения аддитивной модели, представлены в Таблице:
Время года |
Фактический объем продаж в 1996 г. |
Компонента, полученная по аддитивной модели |
||
трендовая |
сезонная |
случайная |
||
Зима |
100 |
? |
? |
+4 |
Весна |
? |
? |
10 |
+5 |
Лето |
150 |
? |
25 |
? |
Осень |
? |
? |
? |
? |
Определите недостающие данные в Таблице, учитывая, что объем продаж компании АВС за1996 г. в целом составил 490 млн. руб.
2. На основе помесячных данных об удое коров в регионе (л/сутки) за последние 4 года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся ниже:
Месяц |
Корректировка |
январь |
- 15 |
февраль |
-10 |
март |
-5 |
апрель |
+1 |
май |
+6 |
июнь |
+12 |
июль |
+15 |
август |
+14 |
сентябрь |
+13 |
октябрь |
+6 |
ноябрь |
-3 |
декабрь |
-7 |
С помощью статистического пакета было получено следующее уравнение линейного тренда: Y=20+1.1t
а) Определите значение сезонной компоненты за декабрь.
б) Определите параметры циклического тренда и на основании построенной модели, дайте точечный и интервальный прогноз ожидаемых удоев молока в течение первого полугодия следующего года, если принять уровень значимости, равным 0.01%.
3. Имеются данные о среднемесячных удоях молока на одну корову по ферме «Клеверок» за 1998-2001 гг.
|
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
Январь |
140 |
143 |
148 |
138 |
Февраль |
147 |
144 |
150 |
143 |
Март |
196 |
188 |
202 |
157 |
Апрель |
210 |
200 |
216 |
170 |
Май |
259 |
247 |
263 |
229 |
Июнь |
288 |
284 |
295 |
275 |
Июль |
271 |
275 |
296 |
269 |
Август |
244 |
250 |
260 |
219 |
Сентябрь |
190 |
181 |
198 |
148 |
Октябрь |
136 |
138 |
146 |
141 |
Ноябрь |
104 |
105 |
110 |
101 |
Декабрь |
116 |
118 |
127 |
116 |
По исходным данным с помощью статистического пакета была получена следующая модель линейного тренда: Y=202.2-0.53t.
а). Исследуйте остатки за последние два года на независимость. Если в остатках наблюдается зависимость, проверьте гипотезу о наличии сезонной составляющей.
б) На основании автокорреляционной функции определите периодичность сезонной составляющей.
4. Имеются данные о среднемесячных удоях молока на одну корову по ферме «Клеверок» за 1998-2001 гг. (исходные данные см. Задача 3).
Из представленного временного ряда был выделен линейный тренд Y=202.2-0.53t и получена остаточная компонента, представленная в Таблице:
Месяц/Год |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
Январь |
-61.6 |
-52.4 |
-41.1 |
-44.8 |
Февраль |
-54.1 |
-50.8 |
-38.6 |
-39.3 |
Март |
-4.6 |
-6.3 |
13.9 |
-24.8 |
Апрель |
9.8 |
6.1 |
28.4 |
-11.2 |
Май |
59.4 |
53.6 |
75.9 |
48.2 |
Июнь |
88.9 |
91.2 |
108.4 |
94.7 |
Июль |
72.4 |
82.7 |
110.0 |
89.2 |
Август |
45.9 |
58.2 |
74.5 |
39.7 |
Сентябрь |
-7.4 |
-10.2 |
13.0 |
-30.61 |
Октябрь |
-60.9 |
-52.7 |
-38.4 |
-37.1 |
Ноябрь |
-92.4 |
-85.1 |
-73.9 |
-76.6 |
Декабрь |
-79.9 |
-71.6 |
-56.3 |
-61.1 |
С помощью статистического пакета по остаткам был построен циклический тренд вида:
а) Определите, является ли существенной периодичность данной регрессии (m=12).
б) Проведите верификацию модели, определите мощность гармоник и значимость всех гармоник.
в) По верифицированной модели осуществите прогноз зависимой переменой (среднемесячных удоев молока) на I полугодие 2002 года. Найдите доверительный интервал прогноза с надежностью 99%.
Результаты расчетов статистического пакета:
5. Оцените параметры циклического тренда и дисперсию случайной составляющей. Имеется информация об изменении зависимой переменной Y в течение трех периодов, в каждом из них осуществлялось по четыре наблюдения.
Период |
1 |
2 |
3 |
Наблюдение |
1 2 3 4 |
1 2 3 4 |
1 2 3 4 |
Y |
10 20 40 5 |
7 21 42 6 |
11 22 38 4 |
6. По данным об изменении зависимой переменной Y получено уравнение линейной регрессии: Yt= 5.2+1.2t
Имеется априорное предположение о присутствии сезонной составляющей. Проверьте предположение и при его подтверждении оцените параметры циклического тренда.
квартал |
I |
II |
III |
IV |
I |
II |
III |
IV |
I |
II |
III |
IV |
Y |
6 |
8.1 |
9.25 |
10.3 |
10.8 |
12.91 |
14.6 |
15.1 |
15.58 |
17.69 |
18.84 |
19.9 |
7. По данным об изменении зависимой переменной Y получен циклический тренд:
Yt = 9.75 + 0.5 cos(пt/2) + 1.5 sin(пt/2) - 0.25(- 1)t .
Исходные данные представлены в Таблице:
Год |
1989 |
1990 |
1991 |
1992 |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
Y |
10 |
15 |
10 |
9 |
11 |
7 |
9 |
7 |
Определите, является ли существенной периодичность данной регрессии.
8. На основе некоторых ежемесячных данных с 1996 по 2001 год, с помощью статистического пакета на основании МНК было получено следующее уравнение регрессии:
, где
В скобках указаны стандартные ошибки оценок.
Когда в уравнение были добавлены три фиктивные переменные, соответствующие первым трем месяцам года, величина Sост выросла до 118.2. Проверьте гипотезу о наличии сезонности, сформулировав необходимые предположения о виде этой сезонности.