1.1.3 Прогнозирование на основе регрессионных моделей.

1.Наблюдения 16 пар (X,Y) дали следующие результаты:

Оцените коэффициенты линейной регрессии Y_t=a+bX_t +e_t

2.Рассмотрим модель , где ошибки являются независимыми одинаково распределенными нормальными случайными величинами. Почему для оценивания параметров нельзя применять метод наименьших квадратов ?

3. Из нижеперечисленных функций, определите, какие являются линейными по переменным, линейными по параметрам, нелинейными ни по переменным, ни по параметрам.

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- .

4. Могут ли следующие уравнения быть преобразованы в уравнения, линейные по параметрам. Если да, то преобразуйте их.

а) ;

b)

c)

d)

5. По исходным данным, представленным в Таблице, о еженедельном среднедушевом потреблении мяса вычислите следующие величины:

1. коэффициент детерминации R² в регрессии среднедушевого потребления (Y) на уровень доходов населения (X) при наличии свободного члена;

2. коэффициент детерминации R² регрессии среднедушевого потребления (Y) на уровень доходов населения (X) при отсутствии свободного члена;

3. определите значимость коэффициента детерминации и в том и в другом случае.

4. изменятся ли результаты расчетов, и как, если использовать скорректированный коэффициент детерминации R²_adj

Х, $	50	70	75	90	100	150	200	300	350	400
Y, кг.	0.7	0.8	0.8	1	1.2	1.3	2	2.5	2.5	3

500	700	900	1200	1500	2000
4.3	5	6.1	6.2	6.1	6.3

6. Рассмотрим следующие факторные модели:

, где

Y_i –годовой доход i- го индивидуума;

W_i- число рабочих недель i-го индивидуума в году;

S_i- полное число лет, потраченных i-ым индивидуумом на образование.

а) Покажите, что для соответствующих оценок МНК выполнены соотношения:

б) Покажите, что остатки этих регрессий совпадают.

7. Всегда ли доверительный интервал для оценок параметров линейной регрессии шире каждого из доверительных интервалов для ? Если да, то почему, докажите утверждение ?

8. Ответьте на следующие вопросы, приведите доказательства.

а) Что произойдет с оценками МНК парной регрессии Y на X, если добавить константу к каждому наблюдению Y , к каждому наблюдению X ? Что произойдет с оценками МНК в множественной регрессии Y на Х₁, Х₂, если добавить константу c₁ к каждому наблюдению Х₁, и константу c₂ к каждому наблюдению X₂.

б) Что произойдет с оценками МНК а₁ ; а₂ в регрессии Y_t =а₁X₁+а₂Х₂+е_t, если вместо переменных X₁;Х₂ взять центрированные переменные:

9. Предположим, что вы оцениваете линейную функцию потребления среди n индивидуумов. Как учесть возможный сдвиг этой функции при переходе от городского к сельскому потребителю, если вы считаете, что предельная склонность к потреблению постоянна, в то время как средняя склонность к потреблению может меняться ? Как проверить гипотезу о том, что предельная склонность к потреблению индивидуумов с доходом выше и ниже уровня Y^*отличаются ?

10. Предположим, что некоторые ежегодные данные удовлетворяют соотношениям:

причем выполнены все условия классической регрессии. Однако оценивается “неправильная” модель без составляющей времени t:

а) Какие из условий классической регрессии не выполнены для модели без временной составляющей ?

б) Будет ли равна нулю сумма остатков для этой регрессии ? Как это связано с ошибочным предположением, что M(v_t)=0 ?

11. Для трех видов продукции А,В,С модели зависимости удельных постоянных расходов (Y) от объема выпускаемой продукции (x) выглядят следующим образом:

-определите коэффициенты эластичности по каждому виду продукции, поясните их смысл;

-сравните при х=400 эластичность затрат для продукции А и С;

-определите, каким должен быть объем выпускаемой продукции, чтобы коэффициенты эластичности для продукции А и С были равны.

12. На основании 32 данных о зависимости ожидаемой продолжительности жизни от суточной калорийности питания населения, представленных в Приложении 3, построена следующая регрессионная модель, характеризующая зависимость y (ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 1999 г.) от х (суточной калорийности питания населения в различных странах) :

y = 44.4+0.009x

Известно также, что парный коэффициент корреляции между x и y равен 0.5562

Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии а₁ (при х) в этой модели с вероятностью 90% и 95%. Проанализируйте результаты для различных вероятностей, поясните причины различий результатов.

Результаты расчетов, полученные с помощью статистического пакета (для вероятности 95%):

13. По случайной выборке из 25 предприятий торговли изучается зависимость между признаками: x- средняя величина покупки в торговом центре, тыс. руб.; Y –выручка торгового предприятия, млн. руб. При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты:

Какой показатель корреляции можно определить по этим данным. Постройте таблицу дисперсионного анализа для расчета значений F- критерия Фишера. Является ли модель существенной. Если Да, то с какой вероятностью ?

14.Зависимость производительности труда (Y) от продолжительности рабочего дня (х), часов по 20 заводам концерна характеризуется следующим образом:

Уравнение регрессии: Y= 200+0.2х-0.06х²; Доля остаточной дисперсии в общей составляет 25%.

- определите значимость уравнения регрессии, используя критерий Фишера, приняв уровень значимости, равным 0.1;

- определите коэффициент эластичности, предполагая, что средняя продолжительность рабочего дня равна 7 часа.

15. По 20 фермам области получена информация, представленная в Таблице:

Показатель	Среднее значение	Коэффициент вариации
Урожайность, ц/га (Y)	27	20
Внесено удобрений на 1 га посева, кг (X)	5	15

Фактическое значение F-критерия Фишера составило 45.

Определите:

- линейный коэффициент детерминации;

- восстановите уравнение линейной регрессии Y на Х;

- с вероятностью 90% определите доверительный интервал ожидаемого значения урожайности в предположении роста количества внесенных удобрений на 15% от своего среднего уровня.

16. Для двух видов продукции А и Б зависимость расходов предприятия Y (тыс. руб.) от объема производства х (шт.) характеризуется данными, представленными в таблице:

Уравнение регрессии	Показатель корреляции	Число наблюдений
YA=130+0.85x	0.76	40
YB=30x0.8	0.82	50

a) Поясните смысл величин 0.85 и 0.8 в уравнениях регрессии;

б) Оцените значимость каждого уравнения регрессии с помощью критерия Фишера, приняв уровень значимости, равным 0.01

17. Зависимость объема продаж товара –Y (тыс. $) от расходов на рекламу х (тыс. $) характеризуется по 12 филиалам торгового предприятия следующим образом:

Уравнение регрессии	Y=12.42+0.729x
Среднее квадратическое отклонение х	0.5629
Среднее квадратическое отклонение Y	0.0399

a) определить парный коэффициент корреляции между Y и x;

б) построить таблицу дисперсионного анализа для оценки существенности уравнения регрессии; оценить существенность модели, используя для оценки критерий Фишера (принять уровень значимости равным 0.05);

в) найти стандартную ошибку оценки коэффициента регрессии;

г) Оценить значимость параметра регрессии, используя критерий Стъюдента.

д) Определить доверительный интервал параметра регрессионной модели с вероятностью 90% и представить анализ сложившейся ситуации.

18. В целях прогнозирования объема экспорта страны на будущие периоды были собраны данные за 30 лет по следующим показателям: y_t – объемы экспорта (млрд. $, в сопоставимых ценах); х_t –индекс физического объема промышленного производства (в % к предыдущему году). Ниже представлены результаты предварительной обработки исходных данных.

1. Уравнения линейных трендов:

2.Уравнение регрессии по уровням временных рядов:

3.Уравнение регрессии по первым разностям уровней временных рядов:

4.Уравнение регрессии по вторым разностям уровней временных рядов:

5.Уравнение регрессии по уровням временных рядов с включением фактора времени:

а)Сформулируйте свои предположения относительно величины коэффициента автокорреляции первого порядка в каждом из рядов. Обоснуйте ответ.

б)Выберите наилучшее уравнение регрессии, которое можно использовать для прогнозирования объема экспорта, и дайте интерпретацию его параметров.

19.Изучается зависимость объема продаж товара А (y) от динамики потребительских цен (x_j). Полученные за 12 кварталов данные представлены в Таблице:

Квартал	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
Индекс потребительских цен, в % к I кварталу	100	102	104	110	112	112	114	117	120	124	124	130
Средний за день объем продаж товара А в течение квартала, кг.	20	24	22	30	35	37	45	47	46	50	54	60