МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Зайцев М.В., Беляев А.А.,
Выборнова И.И., Григорян Е.Н.,
Мушруб В.А., Сухорукова И.В.,
Павловский В.В., Тихонов С.В.
Прикладная математика
Сборник задач
Часть I
Москва 2011
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Одобрено УМС факультета
Протокол № 1
« » 2011 года
Председатель
______________________
Зайцев М.В., Беляев А.А.,
Выборнова И.И., Григорян Е.Н.,
Мушруб В.А., Сухорукова И.В.,
Павловский В.В., Тихонов С.В.
Прикладная математика
Сборник задач
Часть I
Рекомендовано
Кафедрой ВиПМ
Протокол №
« » 2011года
заведующий кафедрой высшей
и прикладной математики
профессор Зайцев М.В.
______________________
Москва 2011
Составители:
проф. Зайцев Михаил Владимирович,
проф. Беляев Александр Афанасьевич,
доц. Выборнова Инесса Ивановна,
доц. Григорян Елена Николаевна,
доц. Мушруб Владимир Александрович,
проф. Сухорукова Ирина Владимировна,
ст.преп. Павловский Владимир Владимирович,
доц. Тихонов Сергей Викторович
Пособие написано в соответствии с программой по прикладной математике для студентов экономических специальностей и содержит задачи по курсу прикладной математики, изучаемому студентами РГТЭУ в первом семестре второго курса. В пособии рассматриваются следующие темы: задачи линейного программирования, транспортные задачи, матричные игры.
Задачник может быть использован как для проведения практических занятий, так и для самостоятельной работы студентов. Задачи снабжены ответами. Задачник дополнен материалами для проведения контрольных работ.
Содержание
Раздел 1. Линейное программирование.............……………………………..5
П. 1.1. Задача линейного программирования...….…………………………..5
П. 1.2. Графическое решение задачи ЛП............…………………………....10
П. 1.3. Симплекс-метод решения задачи ЛП.......…………………………..18
П. 1.4. Двойственная задача ЛП. Условие устойчивости.........................…24
Раздел 2. Транспортная задача...........................………………….................34
П. 2.1. Замкнутая и открытая модели транспортной задачи………………34
П. 2.2. Другие модели транспортной задачи......……………………………40
Раздел 3. Теория игр........................................……………………………….44
П. 3.1. Матричные игры с седловой точкой.......……………………………44
П. 3.2. Графическое решение матричной игры..……………………………46
П. 3.3. Решение игры симплекс-методом............…………………………...49
П. 3.4. Игры с природой.......................................……………………………50
Раздел 4. Материалы для контрольных работ……………………………...54 Ответы…………………………………………………………………………58
Раздел 1. Линейное программирование
П.1.1. Задача линейного программирования
Задача 1.1.1. Малое предприятие (МП) выпускает два вида прохладительных напитков (“Радуга” и “Сияние”), предназначенных для детей и взрослых соответственно. В производстве напитков используется 4 вида сырья: газированная вода, фруктовый сироп, лед и тонизирующая добавка. Нормы расхода сырья на производство одной партии напитков и прибыль от ее реализации даны в таблице 1.1.1.
Таблица 1.1.1
Сырье |
Норма расхода сырья |
Суточный запас сырья |
|
“Радуга” |
“Сияние” |
||
Газ. вода |
6 л |
5 л |
1200 л |
Фруктовый сироп |
1 л |
0,5 л |
150 л |
Лед |
0,6 кг |
1,2 кг |
150 кг |
Тонизирующая добавка |
0,1 кг |
0,5 кг |
30 кг |
Прибыль от партии напитка |
30 руб. |
40 руб. |
|
Выполните следующие задания:
1. Введите переменные.
2. Определите целевую функцию.
3. Составьте систему ограничений.
4. Определите вид математической модели задачи.
5. Преобразуйте её к другим видам задачи ЛП.
Задача 1.1.2. Автомобильный завод выпускает три вида автомобилей “Волга”: серийный вариант, повышенной комфортности и представительского класса. Время сборки на конвейере одного автомобиля составляет для этих типов автомобилей 1 мин., 2 мин. и 3 мин., а расход бензина на 100 км равен 10 л, 12 л и 15 л соответственно. Экологическое законодательство требует, чтобы средний расход бензина не превышал 13 л. Прибыль от реализации одного автомобиля составляет 6, 10 и 25 тысяч рублей соответственно.
Выполните следующие задания:
1. Введите переменные.
2. Определите целевую функцию.
3. Составьте систему ограничений.
4. Определите вид математической модели задачи.
5. Преобразуйте её к другим видам задачи ЛП.
Задача 1.1.3. Диетолог разрабатывает новую диету, состоящую из сливочного масла, натуральных бифштексов (мяса), хлеба и яблочного сока. Содержание калорий, белков, жиров, углеводов и холестерина (в 100 г продукта), а также максимальные и минимальные нормы их потребления (в день) приведены в таблице 1.1.3. Здесь же указана цена в рублях 100 г соответствующего продукта.
Таблица 1.1.3
Элемент питания |
Содержание в 100 г продукта
|
Норма потребления |
||||
|
масло |
мясо |
хлеб |
сок |
мin |
мах |
Калории |
800 |
280 |
245 |
80 |
2400 |
2800 |
Белок |
0,6 г |
15 г |
8 г |
0 г |
60 г |
60 г |
Жир |
20 г |
5 г |
0 г |
0 г |
0 г |
30 г |
Углеводы |
0 г |
0 г |
5 г |
10 г |
10 г |
40 г |
Холестерин |
0,15 г |
0,08г |
0 г |
0 г |
0 г |
0,5 г |
Цена |
3 |
4 |
0,5 |
1 |
|
|
Выполните следующие задания:
1. Введите переменные.
2. Определите целевую функцию.
3. Составьте систему ограничений.
4. Определите вид математической модели задачи.
5. Преобразуйте её к другим видам задачи ЛП.
Задача 1.1.4. Из двух видов сырья завод получает сплав меди, олова и цинка. Процентное содержание компонентов в сырье обоих видов дано в таблице 1.1.4.
Таблица 1.1.4
Компоненты |
Содержание компонент в сырье |
|
|
сырье №1 |
сырье №2 |
Медь |
10% |
25% |
Олово |
30% |
20% |
Цинк |
15% |
10% |
Цена 1 т сырья составляет 2000 руб. и 3000 руб., а имеющиеся запасы не превышают 5 и 12 т для 1-го и 2-го видов сырья соответственно. Полученный сплав должен содержать не более 1 т цинка, не менее 2 т олова, а содержание в нем меди должно составлять не менее 15%.
Выполните следующие задания:
1. Введите переменные.
2. Определите целевую функцию.
3. Составьте систему ограничений.
4. Определите вид математической модели задачи.
5. Преобразуйте её к другим видам задачи ЛП.
Задача 1.1.5. Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице 1.1.5.
Таблица 1.1.5
Склады |
№1 |
№2 |
№1 |
20 руб. |
45 руб. |
№2 |
30 руб. |
20 руб. |
№3 |
40 руб. |
35 руб. |
МагазиныВыполните следующие задания:
1. Введите переменные.
2. Определите целевую функцию.
3. Составьте систему ограничений.
4. Определите вид математической модели задачи.
5. Преобразуйте её к другим видам задачи ЛП.
Задача 1.1.6. Предприниматель-заготовитель, располагающий суммой 10000 рублей и фургоном грузоподъемностью 5 тонн, решил закупить у фермера лук и картофель. Закупочная цена лука - 1,5 руб/кг, картофеля - 1 руб/кг, в то время как цена реализации предполагается 2,5 руб/кг и 1,5 руб/кг соответственно. Запасы картофеля у фермера составляют 4 тонны, а лука - 3 тонны.
Выполните следующие задания:
1. Введите переменные.
2. Определите целевую функцию.
3. Составьте систему ограничений.
4. Определите вид математической модели задачи.
5. Преобразуйте её к другим видам задачи ЛП.
Составьте математические модели задач 1.1.7. – 1.1.10.
Задача 1.1.7. Известно, что 1 кг моркови стоит 10 руб., а 1 кг яблок 20 руб. Сколько яблок и моркови должен потреблять человек за сутки, чтобы получить не менее 90 мг витамина В и не менее 10 мг витамина А при минимальных затратах на яблоки и морковь. Содержание витаминов В и А в моркови и яблоках указано в таблице:
Таблица 1.1.7.
|
А мг/кг |
В мг/кг |
Морковь |
12 |
74 |
Яблоки |
1 |
25 |
Задача 1.1.8. Производственная мощность завода позволяет производить за месяц 100 электродвигателей типа А или 500 электродвигателей типа В. Определить, сколько электродвигателей каждого типа должен производить завод для достижения максимума товарной продукции при следующих дополнительных условиях:
1) двигатели обоих типов имеют одинаковую цену; 2) цена двигателя типа А в 3 раза больше цены двигателя типа В; 3) цены на двигатели типов А и В относятся как 7:4.
Задача 1.1.9. . Найдите оптимальное сочетание площади посевов пшеницы и картофеля на площади 10 тыс. га по критерию максимума прибыли, если экономические показатели их производства заданы в таблице:
Таблица 1.1.9.
Виды затрат |
Затраты на 1 тыс. га |
Размеры ресурсов |
|
пшеницы |
Картофеля |
||
Механизированный труд, тыс. чел.-дн. |
2 |
5 |
35 |
Удобрения, тыс.т. |
2 |
1 |
18 |
Урожайность, ц/га |
30 |
100 |
|
Прибыль, т. руб./ц |
10 |
5 |
|
Задача 1.1.10. Чаеразвесочная фабрика выпускает чай сортов №1 и №2, смешивая три ингредиента: цейлонский, индийский и краснодарский чай. В таблице приведены нормы расхода ингредиентов, объем запасов каждого ингредиента и прибыль от реализации 1 т чая сортов №1 и №2.
Таблица 1.1.10.
Ингредиенты |
Нормы расхода т/т |
Объем запасов (т) |
|
№1 |
№2 |
||
Цейлонский |
0,5 |
0,8 |
600 |
Индийский |
0,3 |
0,1 |
870 |
Краснодарский |
0,2 |
0,1 |
430 |
Прибыль от реализации 1 т продукции (тыс.руб.) |
680 |
560 |
|
Задача 1.1.11. Преобразуйте данную задачу к канонической форме:
Задача 1.1.12. Преобразуйте данную задачу к канонической форме:
