Решение

Обозначим массу 30-процентного раствора x, а массу 60-процентного раствора y. Получим таблицу:

	Общая масса, кг	Масса чистого вещества, кг
Раствор 1 (30%)	x	0,3x
Раствор 2 (60%)	y	0,6y
Чистая вода	10	0
Раствор 3 (50%)	10	0,5 · 10 = 5
Смесь «30% + 60% + вода»	x + y + 10	0,3x + 0,6y + 0
Смесь «30% + 60% + 50%»	x + y + 10	0,3x + 0,6y + 5

По условию, концентрация смеси «30% + 60% + вода» равна 36%. Получаем уравнение:

0,3x + 0,6y + 0 = 0,36 · (x + y + 10)

Аналогично, концентрация смеси «30% + 60% + 50%» равна 41%. Отсюда получаем еще одно уравнение:

0,3x + 0,6y + 5 = 0,41 · (x + y + 10)

Решаем полученную систему, вычитая первое уравнение из второго:

Теперь вспомним, что надо найти. А нужна масса 30-процентного раствора. Та самая, которую мы обозначили за x. Следовательно, x = 60 — это и есть ответ.

Ответ: 60.

Задача №1.

Сплав меди и цинка весом 20 кг содержит 30% меди. Добавили 22кг цинка. Сколько нужно добавить меди, чтобы в сплаве стало 60% цинка.

Очень удобно в задачах на сплавы, смеси, концентрации составлять таблицу по условию задачи (жирным шрифтом), а затем заполнять пустые клетки, руководствуясь законом сохранения массы(объема) и формулами расчета «Процент от числа». Для начала нужно определить количество объектов, которые участвуют в условии задачи ( в нашем случае их 4), затем занести в таблицу все, что говорится о каждом объекте. По вопросу задачу вводится переменная ( в нашем случае это x кг меди)

Объекты	I	добавили цинка	добавили меди	получили сплав
масса (кг)	20	22	x	20+22+x
% меди	30		100
% цинка		100
масса меди (кг)				60
масса цинка (кг)

 Теперь начинаем заполнение пустых клеток:

Объекты	I	добавили цинка	добавили меди	получили сплав
масса (кг)	20	22	x	20+22+x=42+x
% меди	30	0	100	100-60=40
% цинка	100-30=70	100	0	60
масса меди (кг)	(20*30)/100	0	x	(42+x)*40/100=(20*30)/100+0+x
масса цинка (кг)	(20*70)/100	100	0

Нам, в принципе, достаточно заполнения четырех строк, чтобы составить уравнение.

Обратим внимание на «желтую» клетку- эта клетка является ключом составления уравнения задачи, т.к. мы ее можем заполнить по формуле «40 % от числа 42+x», а также по закону сохранения массы: (20*30)/100+0+x.

Следовательно, имеем уравнение: 

Ответ: 18.

 Задача №2.

Имеется сплав серебра с медью. Вычислите массу сплава и процентное содержание серебра в нем, зная, что сплавив его с 3кг чистого серебра, получается сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2кг чистого серебра, получается сплав, содержащий 86% серебра.

Решение:

X кг – масса исходного сплава

(X+3)кг – масса первого сплава

(X+2)кг – масса второго сплава

(X+3)*0.9(кг) – содержание серебра в первом сплаве

(X+2)*0.86(кг) – масса серебра во втором сплаве

(X+3)*0.9-(X+2)*0.86=1

X=0.5

Табличный способ:

По первому предложению составляем таблицу

Объект	I	II	Смесь
m кг	x	3	3+x
% серебра	p	100	90
mсеребра кг	x*p/100	3*100/100	(3+x)*90/100=x*p/100+3*100/100

По второму предложению составляем таблицу

Объект	I	II	Смесь
m кг	x	2	2+x
% серебра	p	100	86
mсеребра кг	x*p/100	2*100/100	(2+x)*86/100=x*p/100+2*100/100

В результате в «желтых» клетках имеем уравнения для системы:

 Тогда 0,5p=15, p=30

Ответ: 0,5 кг; 30 % серебра.

Задача №3.

Из 50т руды получают 20т металла, который содержит 12% примесей. Сколько процентов примесей содержит руда?

 Решение:

Табличный способ:

Объект	I	II	Получили
m тн	50	50-20=30	20
% примесей	p	100	12
mпримесей тн	50*p/100	30	20*12/100=50*p/100-30

 12*20=50p-3000

50p=3240

p=64.8

Ответ: 64.8%.

 Задача №4.

Сплав меди и цинка весом 60 кг содержит 40% меди. Сколько нужно добавить цинка, чтобы в сплаве его концентрация достигла 80%.

 Решение:

Табличный способ:

Объект	I	II	Получили
m кг	60	x	60+x
% цинка	100-40=60	100	80
mцинка кг	60*60/100	x	(60+x)*80/100=60*60/100+x

Имеем:

(60+x)*0.8=36+x

48+0.8x=36+x

x=60  кг цинка нужно добавить.

Задача №5.

 К 15 литрам 10%-ого раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

Решение:

1)     Пусть добавили Xл 5%-ного раствора соли.

(15+X)л – столько стало нового раствора

(15+X)*0.08л – столько в нем содержится соли

2)     В 15 литрах 10%-ного раствора содержится

15*0.1=1.5(л) соли

3)     В Xл 5%-ного раствора содержится 0.05Xл соли

X=10.

Добавили 10л 5%-ного раствора соли.

Табличный способ:

Объект	I	II	Получили
m л	15	x	15+x
% соли	10	5	8
mсоли л	15*10/100	x*5/100	(15+x)*8/100=15*10/100+5x/100

 Имеем:

8(15+x)=150+5x

3x=30

x=10

Ответ: 10л

 Задача №6.

В лаборатории есть раствор соли 4-х различных концентраций. Если смешать I, II, III растворы в весовом отношении 3:2:1, то получится 15%-ный раствор. II, III, IV растворы в равной пропорции дают при смешивании 24%-ный раствор, и , наконец, раствор составленный из равных частей I и III растворов, имеет концентрацию 10%. Какая концентрация будет при смешении II и IV растворов в пропорции 2:1?

 Решение:

1) Пусть в 1кг   I р-ра – Xкг соли

II р-ра – Yкг соли

III р-ра – Zкг соли

IV р-ра – tкг соли

2) В условии говорится, что если мы смешаем 3кг I раствора, 2кг II раствора и 1кг III раствора, то в получившихся 6кг р-ра будет 6*0.15=0.9кг соли. Но в 3-х кг I р-ра имеется (3X)кг соли, в 2кг II р-ра ее (2Y)кг и в одном кг III р-ра – Zкг. Отсюда получается первое уравнение 3x+2y+Z=0.9

3)  Рассуждая аналогично, получим, что

Y + Z + t = 0.72

X + Z = 0.2,

Т.е. получим систему:

Из этой системы нам нужно вычленить 2y + t.

 

2y+t=0,5(3x+2y+Z)+(y+Z+t)-1,5(x+Z)=0,5^.0,9+0,72-1,5^.0,2=0,87

Значит, если смешать 2кг второго раствора и 1кг четвертого, то в получившихся 3кг смеси будет 0.87кг соли, что составляет 29%, что и требовалось найти.

3кг – 100%

0.87кг – x%

3/0,87=100/x;

x = 29%.

 

Ответ: 29%

 

Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчёты.

Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m. Тогда:

• концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина c=m/M;

• процентным содержанием данного вещества называется величина с?100%;

Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c?M.

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

1. Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m₁ и m₂ и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с₁ и с₂. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c₁m₁+c₂m₂, а концентрация c=(c₁m₁+c₂m₂)/(m₁+m₂).

2. Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.

При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.

Задача №1.

Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение.

Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x) литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось (54-х) литров кислоты. Значит в одном литре смеси содержится (54-x)/54литров кислоты. Всего за два раза вылили 54-24=30 литров кислоты. В результате получили уравнение: x+x(54-x)/54=30 Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: в первый раз было вылито 18 литров воды.

При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны: не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости. Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).

Задача №2.

В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?