Граничные условия для электромагнитного поля

При решении большинства задач электродинамики приходит­ся рассматривать электромагнитное поле при наличии границ, разделяющих среды с различными электромагнитными свойствами. Параметры сред меняются на границе скачком, поэтому операция дифференцирования в этой области становится невозможной. Ха­рактеристику поведения нормальных и касательных составляющих векторов поля на границе раздела двух сред выражают в виде граничных условий, которые можно рассматривать как предель­ную форму уравнений Максвелла.

Граничные условия для нормальных составляющих векторов поля. Граничные условия для нормальных составляющих электри­ческого , и магнитного , полей получаются из третьего и четвертого уравнений Максвелла в интегральной форме, рассматриваемых для элементарного объема V , выде­ленного на границе раздела двух сред с параметрами ; . На границе раздела сред допускается существование поверхностного заряда . Для электрического поля третье уравнение Максвелла (10) дает

; (20)

Если заряды на границе отсутствуют ,то условие (20) примет вид

; , (21)

Для магнитного поля заряды всегда отсутствуют, поэтому

, , (22)

т.е. нормальная составляющая вектора магнитного поля всегда непрерывна на границе раздела сред.

Граничные условия для касательных составляющих векторов поля. Эти условия выводятся из первого и второго уравнений Максвелла в интегральной форме. Интегрирование этих уравне­ний проводят по элементарному контуру, пронизывающему грани­цу раздела сред. На граничной поверхности допускают сущест­вование поверхностного электрического тока , представ­ляющего собой движение поверхностных зарядов. При стягивании контура интегрирования к границе раздела сред в пределе пер­вое уравнение Максвелла для вектора магнитного поля дает

, (23)

Если поверхностный ток отсутствуете , то и соответственно . Для касательной состав­ляющей вектора электрического поля из второго уравнения Макс­велла получим

, (24)

Особо отметим граничные условия для векторов поля на границе с идеальной металлической поверхностью . В этом слу­чае во второй среде при все поля обращаются в нуль и граничные условия на основании (20)- (24) принимают вид

; ; ; (25)

В электростатическом поле равенство нулю тангенсальной со­ставляющей электрического поля означает эквипотенциальность поверхности проводников, так как

;

Отсюда на основании (16) следует очевидный вывод, что в области, ограниченной замкнутой металлической поверхностью, не содержащей источников , электрическое поле всегда равно нулю.

Л е к ц и я 4

Энергетические соотношения в электродинамике

Любые физические процессы, в том числе и электромагнит­ные, непосредственно связаны с превращением одного вида энергии в другую в соответствии с законом сохранения энергии. В СВЧ устройствах превращения электромагнитной энергии обычно связаны о потерями на тепло, на излучение; с потерями на хи­мические процессы, происходит также перераспределение между электрической и магнитной энергиями. Совокупность этих про­цессов определяет основные электрические характеристики уст­ройства: КПД, добротность, затухание, избирательность и т.д.

Математическая зависимость энергетических превращений электромагнитного поля выражается в энергетических соотноше­ниях электродинамики. Эти соотношения для конкретной области пространства строго связаны между собой уравнением энергети­ческого баланса. Суть этого уравнения совпадает с законом со­хранения энергии для электромагнитного поля.

Баланс энергии электромагнитного поля. Для изучения энер­гетических соотношений составляются уравнение баланса энергии для заданной области V. Это уравнение утверждает, что

;(26)

т.е. мощность сторонних источников расходуется на мощ­ность активных потерь , на изменение запасенной энергии и на излученную мощность . С этим уравнением со­поставляется следующее математическое выражение баланса энер­гии, полученное путем формальных математических преобразова­ний первых двух уравнений Максвелла со сторонними источниками:

(27)

где П - вектор Пойнтинга . Этот вектор по вели­чине равен потоку плотности электромагнитной энергии в едини­цу времени и натравлен в сторону распространения энергии. Выражение (27) записано в дифференциальной форме и ха­рактеризует баланс электромагнитной энергии в каждой точке пространства. Интегральная форма записи получается при интег­рировании соотношения (27) по заданному объему:

; (28)

Физический смысл слагаемых выражений (27) в (28) уточняется в результате их сопоставления с формулировкой баланса элект­ромагнитной энергии (26). Так, слагаемое соответст­вует мощности джоулевых потерь , определяемых по закону Джоуля - Ленца. Согласно закону Ома можно утверждать, что может быть выражено:

. Интеграл в левой части равенства (28) представляет собой расходуемую мощность сторонних источников . Третье слагаемое соот­ношения (28) представляет поток вектора Пойнтинга через зам­кнутую поверхность S : . Оно характеризует излученную мощность. Последнее слагаемое соотношения (28) представ­ляет собой изменение запасенной магнитной и электрической энергии:

где величина является плотностью электрической

энергии, a плотностью магнитной энергии. Величина запасенной электромагнитной энергии в области V :

Для анализа энергетических соотношений в монохроматическом поле рассматривают уравнение баланса для средней за период мощности.

Под средним за период значением функции подразумевают величину , где Т- период колебания. Слага­емые уравнения (26) дня средних за период величин имеют сле­дующие значения: ; ; , где - комплексный вектор Пойнтинга. Среднее за период значение вектора Пойнтинга: . Среднее за период значение запасенной электромагнитной энергии:

;

Среднее значение изменения электромагнитной энергии за пери­од равно нулю , так как .

Таким образом, уравнение баланса для средней за период мощности: . Из этого уравнения следует, что в данном объеме в среднем за период мощность сторонних источников расходуется на джоулевы потери и на излучение электромагнитной энергии.