Лекция 2 Основные уравнения электродинамики

В основе макроскопической электродинамики лежат законы электромагнетизма, установленные опытным путем. Основными из них являются: 1) закон полного тока (закон Ампера); 2) за­кон индукции Фарадея; 3) закон Кулона; 4) свойство соленоидальности магнитного поля.

Математическое обобщение этих законов дал известный анг­лийский физик Д.Максвелл (1820 - 1875). Он постулировал сис­тему дифференциальных уравнений в частных производных, свя­зывающих векторы электромагнитного поля с их источниками. Эти уравнения не вытекают из каких-либо других уравнений, а являются обобщением опытных данных, полученных при изучении электромагнитных явлений. Они являются фундаментальными со­отношениями, из которых путем математических преобразований выводятся все остальные электромагнитные свойства изучаемых объектов.

Первое уравнение Максвелла. Первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока. Этот закон утверж­дает, что циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру в равна полному току I , пронизыва­ющему данный контур (рис.1 ,a), т.е.

_{, (4)}

где - поверхность, опирающаяся на замкнутый контур . Дифференциальная форма соотношения (4) получается с помощью теоремы Стокса и имеет вид

_{, (5)}

В правую часть соотношений (4), (5) входит только ток прово­димости , поэтому закон Ампера справедлив только для це­пи постоянного тока, а для цепи переменного тока, например, содержащей конденсатор, в ко­тором нет тока проводимости, он нарушается. Д .Максвелл распространил этот закон на слу­чай переменных полей. Для этого он предположил, что переменное электрическое поле в отсутст­вии свободных зарядов так же порождает магнитное поле, как и ток проводимости. На этом основании он ввел в правую часть соотношения (4) и (5) до­бавочный член - ток смещения - характеризующий пе­ременное электрическое поле;

_, (6)

Уравнение (6) носит название первого уравнения Макс­велла. Оно утверждает, что переменное электрическое поле, так же как и ток проводимости, порождает магнитное поле, а си­ловые линии магнитного поля охватывают линии полного тока и связаны с ним правовинтовой системой (рис.1,а).

Из уравнения (6) с учетом закона Кулона следует соотно­шение непрерывности для полного тока:

_{, (7)}

Выражение (7) соответствует формулировке дифференциаль­ной формы закона сохранения заряда, который утверждает, что всякому изменению заряда в некоторой области соответствует электрический ток, вытекающий или втекающий в данную об­ласть.

Интегральная форма этого закона получается после интег­рирования (7) по области :

Второе уравнение Максвелла. Второе уравнение Максвелла является обобщением закона индукции Фарадея, который был сформулирован только для проводящих контуров и связывает ЭДС, на­веденную в контуре, со скоростью изменения магнитного пото­ка, пронизывающего этот контур . Максвелл распро­странил этот закон на произвольный замкнутый контур и запи­сал его в виде следующие уравнений:

_{, (8)}

_{, (9)}

Выражения (8) и (9) носят название второго уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме соответственно. Эти уравнения связывают циркуляцию вектора электрического поля по замкнутому контуру - с переменным потоком вектора че­рез произвольную поверхность S , опирающуюся на контур . Знак "минус" в правой части уравнения показывает, что наво­димое электрическое поли препятствует изменению вектора и связано с ним левовинтовой системой (рис. 1,б).

Третье уравнение Максвелла. Это уравнение является обоб­щением закона Кулона на случай произвольных переменных полей. В интегральной и дифференциальной форме соответственно это уравнение имеет следующий вид:

_{, (10)}

_{, (11)}

Уравнение (10) связывает поток вектора электрической индук­ции через произвольную замкнутую поверхность S с полным зарядом заключенным в объеме V , ограниченном этой по­верхностью. Уравнение (11) соответственно характеризует ис­точники электрического поля в каждой точке пространства.

Четвертое уравнение Максвелла. Четвертое уравнение Макс­велла в интегральной форме записывается

, (12)

Это выражение совпадает с законом Гаусса для магнитного поля, который утверждает, что силовые линии магнитного поля всегда замкнуты и не имеют истоков и стоков. Поэтому всегда поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Дифференциальная форма этого уравнения имеет вид

, (13)

Уравнения (12), (13) отражают тот опытный факт, что силовые линии магнитного поля всегда непрерывны и замкнуты, в природе отсутствуют магнитные заряды, а существуют только магнитные диполи. Магнитное поле всегда соленоидальное.

Сторонние источники, полная система уравнений Максвелла. Возникновение любого электромагнитного поля в определенной области всегда обязано какой-то первопричине - источникам, вызвавшим его появление. Такими источниками могут быть токи , заряды или поля . Эти источники обыч­но считаются заданными и входят в правую часть уравнений Максвелла в виде отдельных слагаемых. Полная система уравне­ний Максвелла со сторонними токами и зарядами имеет вид

_{, (14)}

Эту систему дополняют тремя материальными уравнениями, харак­теризующими параметры среды:

_{, , (15)}

Если среды в рассматриваемой, области линейные, то и урав­нения (14), (15) тоже линейные, и к их решению применим прин­цип суперпозиции.

Система уравнений (11), (12) отражает неразрывную связь электрических и магнитных явлений: изменение одного поля не­пременно вызывает изменение другого; источниками электромаг­нитного поля всегда являются электрические заряды; магнитное поле всегда вихревое и его линии схватывают линии полного тока.

Классификация электромагнитных явлений. В уравнения Макс­велла входят производные по времени от электромагнитных вели­чин. В связи с этим принято классифицировать электромагнит­ные явления по скорости изменения процесса следующим образом. Выделяют:

1. статическое поле;

2. поле постоянного тока;

3. медленно меняющееся по времени поле - квазистационарное поле;

4. электродинамическое быстропеременное поле (монохро­матическое) .

В каждом из этих случаев система уравнений Максвелла упрощается из-за отсутствия тех или иных членов.

1. Наиболее простыми из электромагнитных явлений являются статические поля. Для них очевидно и .

Система уравнений Максвелла для этих полей распадается на две независимые системы уравнений:

Первая из них описывает электростатическое поле - поле неподвижных электрических зарядов. В нее входят только элек­трические величины и диэлектрические параметры среды.

Вторая система характеризует магнитостатическое поле -поле постоянных магнитов.

Таким образом, делание системы уравнений Максвелла на две независимые системы показывает, что статические магнит­ные и электрические пола существуют независимо друг от друга.

2. Поле постоянного тока называется стационарным элект­ромагнитным полем. Для него и между электрическим и магнитным полем имеется строгая связь, выраженная за­коном Ома (3) и законом полного тока (5):

Таким образом, уравнения Максвелла для поля постоянного тока представляют собой единую систему.

3. Квазистационарные процессы имеют место, если и в первом уравнении Максвелла можно пренебречь током смеще­ния.

4. Монохроматическое электромагнитное поле - это поле, для которого зависимость от времени может быть выражена мно­жителем . Это позволяет, применив метод комплексных амплитуд, избавиться от операций дифференцирования и интег­рирования по времени, заменив их соответственно умножением или делением на . При этом запись системы уравнений Максвелла значительно упрощается.

Л е к ц и я 3