Лекция 10 Элементы теории цепей

Любой СВЧ тракт радиотехнической системы выключает в се­бя самые разнообразные неоднородности и элементы, которые, в конечном счете, и определяют его характеристики. Строго го­воря, когда размеры этих элементов соизмеримы с длиной волны, то их расчет нужно вести методами электродинамики. Однако это сложный и неоптимальный путь. Для упрощения решения подобных задач сложную волноводную систему приводят к некоторой экви­валентной схеме, состоящей из отрезков регулярных линий и сопротивлений, а СВЧ узел рассматривают как некоторый много­полюсник. Такое представление СВЧ узлов приводит к простым соотношениям между входными и выходными параметрами, и к их анализу применим математический аппарат матричной алгебры, хо­рошо разработанный в теории цепей.

В отличие от низкочастотных цепей на СВЧ для этого ме­тода анализа появляется ряд особенностей:

1. Нужно учитывать волновой характер процессов, что тре­бует фиксации клеммных плоскостей, определяющих фазу процес­са и длину соединяющих отрезков линий.

2. Имеется возможность распространения многих типов волн: Т, Е, Н . Если устройство допускает существование нескольких типов волн, то на выходах многополюсника каждому типу волны должна соответствовать своя пара клемм.

3. На клеммах многополюсников, соединяемых между собой, должны быть одинаковые типы волн, а преобразование типа вол­ны должно происходить внутри многополюсника.

Каждый узел представляется как некоторый многополюсник с n выходами и 2п клеммами. Если многополюсник представ­ляет линейную цепь, то он описывается линейными алгебраиче­скими уравнениями. На практике получили распространение два вида уравнений. В первом из них описывается связь между на­пряжением U и током I на клеммах посредством импедансных матриц: матрицы сопротивлений , матрицы проводимостей и матрицы передачи . Во втором - используются соотноше­ния между падающими и отраженными волнами. Их связывают вол­новые матрицы: - матрица рассеяния и - волновая мат­рица передачи.

Двухполюсные системы СВЧ. Простейшими многополюсниками являются двухполюсные системы. Это схемы с одной парой клемм (рис. 14). Все свойства данной схемы характеризуются входным сопротивлением , или коэффициентом отражения Г :

;

Б ольшое значение в СВЧ устройствах имеют реактивные двухполюсники (короткозамыкатели, шлейфы, резона­торы и др.). Эти двухполюсники обладают рядом общих свойств, сформулированных в теореме Фостера. Если в двухполюснике нет активных потерь, то его сопротивление на входе чисто реактивное ; , причем ; . В отличие от низкочастотных цепей двухполюсные ре­активные СВЧ устройства являются многорезонансными, так как для них резонансы имеют место на всех кратных частотах.

Импедансные матрицы четырехполюсников. Связь между напряжениями и токами на вы­ходах четырехполюсника может быть выражена шестью различ­ными способами (рис.15).Наи­более употребительные из них три: это матрицы сопротивлений проводимости и передачи:

; (72)

; (73)

(74)

Система (74) характеризуется матрицей сопротивлений:

;

; (75)

Физический смысл элементов матрицы (72) вытекает из усло­вия холостого хода на i-м выходе . Так из (75) сле­дует, что при - входное сопротивление при разомкнутом выходе; при - выходное сопротивле­ние; при и переходные сопротивле­ния соответственно.

Для взаимного четырехполюсника , для симмет­ричного - . Симметричный и взаимный четырехполюсник характеризуются двумя элементами матрицы: . Ма­трицу сопротивлений целесообразно использовать при последовательном соединении четырехполюсников, так как для них суммарная матрица есть сумма отдельных .

Вторая система (73) характеризуется матрицей проводимо­сти . Эти матрицы удобно использовать при анализе, парал­лельного соединения четырехполюсников, так как .

Третья система (74) характеризуется матрицей передачи . Эти матрицы целесообразно использовать при каскадном включе­нии четырехполюсников.

В олновые матрицы многополюсников. В уравнения (72)- (74) с импедансными матрицами входят интегральные величины: напря­жения и ток . Эти величины могут быть представлены в виде суммы падающих и отраженных волн. В СВЧ диапазоне измерение интегральных величин сложно, и обычно измеряют ча­стоту , мощность Р, КСВ или модуль и фазу коэффициента отражения. Измерение КСВ и коэффициента отражения непосредственно связано с измерением падающей и отраженной волны. Поэтому уравнения, связывающие падающие и отраженные волны многополюсника в СВЧ диапазоне, более наглядны и позволяют просто сопоставить результаты эксперимента.

Для произвольного многополюсника вводят следующие обо­значения (рис. 16): падающую (входящую) волну в i-м плече обо­значают через , а отраженную или выходящую - через . Пассивный ли­нейный п-полюсник может быть опи­сан системой п линейных алгебраи­ческих уравнений относительно волн и :

;

; (76)

.....

;

или, используя матричную запись, систему (76) запишем:

где

; (77)

Физический смысл элементов матрицы (77) можно выяснить следующим образом. Подключим генератор на k-й вход много­полюсника а_к , а ко всем остальным плечам подключим согла­сованные нагрузки. Это значит, что , и из (5) получим ; ; . Отсюда мож­но сказать, что при

есть коэффициент передачи из плеча k - в плечо i; - коэффициент отражения от k -го плеча при условии полного согласования всех плеч многополюсника.

Итак, элементы матрицы (77) с неодинаковыми индек­сами есть коэффициенты передачи из входа, соответствующего второму индексу k, к выходу с первым индексом i. Диаго­нальные элементы матрицы - коэффициенты отражения от i-го входа при полном согласовании остальных плеч.

Матрица называется волновой матрицей рассеяния. Для взаимных n-полюсников очевидно , поэтому , где - транспонированная патрица ( это ма­трица, у которой строки заменены столбцами).

Многополюсники без потерь. При анализе большинства СВЧ узлов можно пренебречь потерями, т.е. считать, что потеря в устройстве отсутствуют и энергия падающих волн равна энергии отраженных волн. Для них матрица рассеяния обладает свойст­вом унитарности, т.е.

(78)

где [1] - единичная матрица.

Для взаимных многополюсников свойство уни­тарности примет вид: .Условие (78) означает, что

при

(79)

Физический смысл соотношения (79) составляет условие баланса мощности в многополюснике без потерь, т.е. если р-му плечу подводится единичная мощность, то каждый из квадратов модулей элементов является долей мощности, выделяющейся в согласованной нагрузке k-го плеча, а - доля отра­женной мощности от плеча р,

Соотношение (79) для многополюсника без потерь часто ис­пользуют для проверки практических расчетов сложных СВЧ узлов.