5.3 Условная оптимизация
Математическое программирование - это область математики, разрабатывающая теорию, численные методы
решения многомерных задач с ограничениями. В отличие от классической математики, математическое
программирование занимается математическими методами решения задач нахождения наилучших вариантов из всех возможных.
5.3.1 Метод множителей Лагранжа
Пусть задана функция нескольких |
n переменных |
f ( |
требуется найти экстремумы f(x) при заданных ограничениях:
x) = f (x1, x2 , xn )
ϕi (x) =ϕi (x1, x2 , xn ) = 0; i =1 m
1. Необходимые условия существование локального экстремума (НУ)
Функция Лагранжа |
m |
|
|
|
|
Φ(x,ψ ) = f (x) +∑ψiϕi (x) |
ψi множители Лагранжа |
|
i=1
Если x* является локальным экстремумом, то существует вектор ψ * = (ψ1* ,ψ2*, ,ψn* )
такой, что Φ'x (x* ,ψ * ) = 0
m
где Φ'x (x,ψ ) = f ' (x) +∑ψiϕ' (x)
i=1
11
1. Достаточные условия существование локального экстремума (ДУ)
Если f (x) и ϕi (x) дважды дифференцируемы в точке x*
и в этой точке выполняются ДУ и условия
(Φ'xx' (x* ,ψ * )h, h)> 0 или |
(Φ'xx' (x* ,ψ * )h, h)< 0 |
При всех ненулевых h, удовлетворяющих условиям |
|
(ϕi' (x* )h, h)= 0 |
i =1 m |
То x* строгий локальный минимум (максимум) f(x) при заданных ограничениях.
|
m |
Где Φ'xx' |
(x* ,ψ * ) = f '' (x) +∑ψiϕi'' (x) |
|
i=1 |
12
5.3.2 Выпуклые функции
Выпуклое программирование - раздел нелинейного программирования, совокупность методов решения
нелинейных экстремальных задач с выпуклыми целевыми функциями и выпуклыми системами ограничений.
Функция выпукла, если для любых двух значений аргумента выполняется неравенство Йенсена
f (t x +(1−t) y) ≤ t f (x) +(1−t) f ( y) t 0 1 x ≠ y n
Некоторые свойства выпуклой функции:
-дважды дифференцируемая функция выпукла тогда и только тогда, когда ее график лежит не ниже касательной, проведенной в любой точке интервала выпуклости; -дважды дифференцируемая функция выпукла, если ее вторая производная не отрицательна;
-если f(x) и g(x) выпуклы, то их линейна комбинация тоже выпуклая функция; -локальный минимум выпуклой функции является глобальным минимумом; -любая стационарная точка выпуклой функции является глобальным экстремумом;
13
5.3.3 Условия Каруша-Куна-Таккера (ККТ)
Выпуклое программирование - раздел нелинейного программирования, совокупность методов решения
нелинейных экстремальных задач с выпуклыми целевыми функциями и выпуклыми системами ограничений.
Пусть задана выпуклая функция нескольких |
n переменных f (x) = f (x1, x2 , xn ) |
||
требуется найти экстремумы f(x) при заданных ограничениях: |
|||
ϕj (x) =ϕj (x1, x2 , xn ) ≤ 0; |
x ≥ 0; |
j =1 m |
|
ϕj (x) выпуклые функции |
|
|
|
Необходимые и достаточные условия существование локального экстремума |
|||
Функция Лагранжа |
m |
|
|
Φ(x,ψ ) = f (x) |
+∑ψ jϕj (x) |
ψi |
множители Лагранжа |
|
j=1 |
|
|
1) |
∂Φ(x,ψ ) ≥ 0 |
4) |
∂Φ(x,ψ ) ≥ 0 |
|
∂x |
|
∂ψ j |
|
i |
|
∂Φ(x,ψ ) x = 0 |
2) |
∂Φ(x,ψ ) x = 0 |
5) |
|
|
i |
|
i |
|
∂xi |
|
∂ψ j |
3) |
xi ≥ 0 |
6) |
ψ j ≥ 0 |
i =1 n |
|
j =1 m |
|
14