Комментарии к списку вопросов
Требования к ответам на вопросы при написании контрольных работ и на экзамене одинаковы. На оценки «4» и «5» доказательства не обязательны (кроме вопросов 22 и 24): нужно знать определения, формулировки лемм, теорем, следствий и свойств, самостоятельно уметь приводить примеры. На оценки «6»–«10» дифференцированно требуются также и доказательства утверждений, что указано ниже, в табл. 2. В случае отсутствия номера вопроса или названия утверждения в табл. 2 на все оценки при ответе требуется приводить лишь формулировки, это касается и тех утверждений, которые приводились в теоретическом разделе без доказательств.
Таблица 2
Требования к ответам на вопросы
№ вопроса |
Названия утверждений (их номера в теоретическом разделе) |
На какую оценку требуются доказательства |
1 |
2 |
3 |
1 |
Теорема о делении с остатком (1.1.1) |
«6»–«10» |
2 |
Свойства делимости целых чисел (1–7) |
«6»–«10» |
3 |
Свойства НОД целых чисел (1–4). Теорема о нахождении НОД из теоремы о делении с остатком (1.2.1) |
«6»–«10» |
4 |
Теорема-алгоритм Евклида нахождения НОД целых чисел (1.2.2). Соотношение Безу для НОД целых чисел (1.2.3) и следствие |
«6»–«10» |
5 |
Свойства НОК целых чисел (1–4) |
«6»–«10» |
Продолжение табл. 2
1 |
2 |
3 |
6 |
Теорема о наименьшем делителе натурального числа, большего 1 (1.3.1). Свойства простых чисел (1, 2). Теорема Евклида (1.3.2) |
«6»–«10» |
7 |
Теорема об отрезке натурального ряда, все числа которого составные (1.3.4) |
«6»–«10» |
8 |
Критерий взаимной простоты чисел (1.4.1). Свойства взаимно простых чисел (1–4) |
«6»–«10» |
9 |
Основная теорема арифметики (1.4.2) |
«6»–«10» |
10 |
Критерий разрешимости диофантова линейного уравнения (1.5.1) |
«6»–«10» |
10 |
Теорема о нахождении решений диофантова линейного уравнения с двумя неизвестными (1.5.2) |
«7»–«10» |
11 |
Теорема о трех эквивалентных условиях сравнимости целых чисел по натуральному модулю (1.6.1). Свойства сравнений (1–9) |
«6»–«10» |
12 |
Свойства операций сложения и умножения классов вычетов (1–5) |
«6»–«10» |
13 |
Леммы о свойствах классов вычетов с представителями, взаимно простыми (1.7.1) и не взаимно простыми с модулем (1.7.2). Теорема о необходимом и достаточном условии обратимости класса вычетов и произведении обратимых классов (1.7.1). Следствие об обратимости классов вычетов по простому модулю |
«6»–«10» |
14 |
Теорема о вычислении значений функции Эйлера (1.7.2) |
«8»–«10» |
15 |
Теорема Эйлера (1.7.3) |
«7»–«10» |
15 |
Следствие из теоремы 1.7.3. Малая теорема Ферма (1.7.4), следствия 1 и 2 из нее |
«6»–«10» |
16 |
Решение линейных сравнений с одним неизвестным в целых числах (описание методики) |
«6»–«10» |
18 |
Лемма о тождественной композиции функций (2.1.1). Теорема-критерий существования обратной функции (2.1.1) |
«6»–«10» |
19 |
Свойства функций и их композиций (1–7). Теорема о связи инъективности и сюръективности преобразования конечного множества (2.1.2) |
«6»–«10» |
20 |
Критерий равномощности конечных множеств (2.2.1). Теорема об общем числе взаимно однозначных соответствий для двух n-элементных множеств (2.2.2) |
«6»–«10» |
21 |
Теорема о мощности декартова произведения конечных множеств (2.2.3). Теорема о мощности булеана конечного множества (2.2.4) |
«6»–«10» |
22 |
Счетность бесконечного подмножества множества натуральных чисел, множеств целых и рациональных чисел. Свойства счетных множеств: конечное объединение счетных множеств и счетное объединение конечных множеств счетны |
«4»–«10» |
23 |
Теорема Кантора (2.2.5) |
«6»–«10» |
Окончание табл. 2
1 |
2 |
3 |
24 |
Доказательства равномощности интервала (0; 1) и по-луинтервала (0; 1], интервала (0; 1) и отрезка [0; 1], интервалов (0; 1) и (a; b), (c; d) и (a; b). Доказательство континуальности множества R |
«4»–«10» |
24 |
Доказательство континуальности булеана счетного множества |
«6»–«10» |