Методические указания к выполнению учебных заданий

Пример выполнения задания 1

Стальной стержень находится под действием продольной силы Р и собственного веса. Найти перемещение сечения I-I (рис. 1) при следующих значениях переменных: Р=20т; a=2м; b=3м; c=2м; F=20см²; γ=7,85∙10^-3 кг/см³.

F

N_a

a

Y

G_a

N_b

b

I

I

G_b

2F

c

G_c

P

Р и с. 1

Решение

Перемещение любого сечения, например I-I, определяется по отношению к началу отсчета. Если начало отсчета совместить с неподвижным сечением, например заделкой, то абсолютная деформация участка, заключенного между сечениями, будет численно равна искомому перемещению. Рассматриваемая часть стержня будет удлиняться за счет действия собственного веса, а также веса участка, находящегося ниже, и внешней силы.

Составим расчетные уравнения. Сечение I-I будет перемещаться за счет удлинения участков a и b (начало отсчёта совместили с неподвижным сечением, например заделкой).

Удлинение (l_a) участка а происходит от следующих составляющих:

1. от силы N_a=P+G_b+G_c;

, где

G_b=F_bb=2Fb - вес участка b,

G_c = F_cc=2Fc – вес участка с;

2. от собственного веса участка a:

, где

G_a=F_aa=Fa - вес участка a.

Тогда

l_a= l_Na +l_Ga (1)

Удлинение (l_b) участка b происходит от следующих составляющих:

1. от силы N_b =P+G_c ;

, где

G_c=2Fc- вес участка с, расположенного ниже сечения I-I;

2. от собственного веса участка b:

,

где G_b=F_bb= Fb - вес участка b.

Тогда

l_b=l_Nb+l_Gb (2)

В результате из (1) и (2) следует, что перемещение сечения I-I можно записать в виде:

или

. (3)

Подставим числовые данные в формулу (3):

l_I-I=(20∙10³кг∙ (200см+300см/2)/( 2∙10⁶кг/см²∙20см²)+

+(7,85∙10^-3кг/см³/(2∙10⁶ кг/см²)) ∙ (2∙ 200см(300см+200см)+300см∙200см+

+((200см) ²+(300см) ²))/2)=0,176см.

Пример выполнения задания 2

Верхняя часть стержня длиной b=1,5м и поперечным сечением F_м=200см² - медная, a_м =165∙10^-7 1/°c, E_м=10⁶ кг/см², нижняя часть длиной a=1м и поперечным сечением F_ст=100см² – стальная, _ст =125∙10^-7 1/°c, E_ст=2∙10⁶ кг/см² . Между нижним концом стержня и жесткой заделкой был оставлен зазор =0,03мм (рис. 2, а). Определить напряжения в частях стержня после повышения его температуры на t=30С.

R

N_ст.

N_M

150

100

∆

l_M

l_ст.

87000

Эпюра N

0,003

R

Y

∆

87000

435

Эпюра σ

435

870

870

0,009

Эпюра U

а б в г д

Р и с. 2

Решение

При повышении температуры стержень, удлиняясь, закроет зазор и окажет давление на опорные поверхности, в которых возникнут реакции (рис. 2, б). Задача один раз статически неопределима.

Составим расчетные уравнения.

1) N_ст + R =0, N_ст = - R – на участке a.

2) N_м + R =0, N_м = - R - на участке b.

Учитывая, что величина зазора между стержнем и заделкой =0,003см, из условия совместности деформаций частей стержня составим уравнение:

= l_ст + l_м + l_t ,

, .

Температурное удлинение стержня при отсутствии нижней заделки определится соотношением

l_t=l_t,ст+l_t,м = α_ст∙l_ст∙∆t+α_м∙l_м∙∆t.

Выражая деформации частей стержня через действующие в них усилия, получим следующее уравнение:

или, используя численные значения,

Решая его, найдем, что R=87т. Эпюра постоянной продольной силы N=-R показана на рис. 2, в.

Напряжения в частях стержня определяем по формуле =N/F.

Тогда в медном стержне - _м=N_м/F_м=-87000кг/200см²=-435кг/см²; в стальном _ст=N_ст/F_ст=-87000кг/100см²=-870кг/см². Эпюра напряжений приведена на рис. 2, г.

Определим перемещения сечений стержня. Удлинение медного участка от действия температуры и сжимающей продольной силы находится по формуле

l_м=l_t,м+l_N,м=_мl_мt+N_мl_м/E_мF_м=16510^-715030+(-87000150)/(10⁶200)=

=0,07425см-0,06525см=0,009см.

Перемещение сечения на границе медного и стального участков составляет u₁=0,009см.

Удлинение стального участка от действия температуры и сжимающей предельной силы находится по формуле:

Перемещение концевого сечения стержня равно зазору u₂==0,003см, т.е. =l_ст+l_м =0,009см-0,006см=0,003см. Полная эпюра перемещений представлена на рис. 2, д.

Пример выполнения задания 3

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно - неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров. Определить напряжения и усилия в стержнях, площади их сечений (рис. 3, а).

Р и с. 3, а

Исходные численные данные задачи:

P=10 т; a=0,9 м; b=0,8 м; c=0,6 м; l=0,8 м; F₁/F₂=3/2;

[_с]=1600кг/см²; [_a]=500 кг/см²; E_c=2·10⁶ кг/см²;

E_a=0,7·10⁶ кг/см²; 1-сталь, 2-алюминий.

Решение

1. Отбросим закрепления и заменим их реакциями (см рис. 3,a). Определим степень статической неопределимости: 4 неизвестных, 3 уравнения равновесия S=4-3=1, следовательно, система один раз статически неопределима

и необходимо составить одно уравнение совместности деформаций.

2. Составим уравнения равновесия. Проектируем все силы на оси координат:

.

Сумма моментов относительно точки О:

.

3.Рассмотрим деформированную систему (рис. 3,б) и составим уравнение совместности деформаций, используя подобие треугольников:

B´

Р и с. 3, б

; ВВ=l_a ; ; ;

.

N_c =1,1344N_a – уравнение совместности деформаций.

Таким образом, получаем систему четырех уравнений

решая которую c учетом численных значений параметров, находим N_с=10,78т; N_a=9,5т; H=-7,62т; R_о=-7,13т.

Сделаем проверку

4. Найдем площади сечений из условий прочности: _max=N/F[].

; .

Проверим условие прочности для второго стержня

.

Условие прочности не выполняется. Отсюда следует, что сначала необходимо определить площадь второго стержня:

; .

Проверим условие прочности для первого стержня

.

Условие прочности удовлетворяется для обоих стержней.

Ответ:

N_с =10,78т, N_a =9,5т, H=-7,62т, R₀ =-7,13т, F_c =28,5см²; F_a =19см².

Пример выполнения задания 4

На рис. 4 изображена балка квадратного поперечного сечения Р=2т; q=2т/м; М=8тм; а=2м; b=8м; []=1600кг/см². Требуется построить эпюры Q и М и проверить на прочность балку по величине нормальных напряжений.

M

R_B

X

R_A

q

B

P

x₃

x₁

H_A

A

a

b

a

x₂

6,8

5,4м

Эпюра Q

17,16

4

13,6

2

Эпюра M

9,2

5,6

Y

Р и с. 4

Решение

Выполним следующие этапы

1.Определение опорных реакций.

Для вычисления опорных реакций R_A и R_B составим уравнения равновесия:

X: H_A =0;

Y: R_A -qb+R_B –P=0.

Сумма моментов внешних сил относительно точки А:

М_A: -М+qb(a+b/2)-R_B(a+b)+P(2a+b)=0.

Отсюда получаем R_B=11,2т; R_A=6,8т.

Сделаем проверку:

М_B: -М-qbb/2+R_A(a+b)+Pa=0;

-8-288/2+6,8(2+8)+22=0.

2. Построение эпюр поперечных сил Q и моментов М.

 участок (0х₁а):

Q(x₁)=R_A=6,8т- поперечная сила на этом участке не зависит от х;

М(x₁)=R_Ax₁=6,8x₁- уравнение прямой.

При х₁=0 М(0)=0, при х₁=а=2 М(2)=6,82=13,6тм.

 участок (ах₂а+b):

Q(x₂)=R_A-q(x₂-a)- уравнение прямой.

При х₂=a=2 Q(2)=6,8т, при х₂=a+b=10 Q(10)=-9,2т.

М(x₂)=R_Ax₂-М-q(x₂-a)²/2=6,8x₂-8-(x₂-2)²- уравнение параболы.

При х₂=a=2 М(2)=5,6тм, при х₂=а+b=10 М(10)=-4тм.

Так как поперечная сила на втором участке в одном из сечений меняет знак с плюса на минус, то в этом сечении функция М(х₂) имеет максимум. Для его вычисления берем производную от М(х₂) и приравниваем ее к 0:

 участок (0х₃а):

Q(x₃)=Р=2т- поперечная сила на этом участке не зависит от х.

М(x₃)=-Рx₃=-2x₃- уравнение прямой.

При х₃=0 М(0)=0, при х₃=2 М(2)=-4тм.

По результатам расчетов строим эпюры Q и М (см. рис. 4).

3. Вычисляем наибольшие по абсолютному значению величины поперечной силы Q и изгибающего момента M:

Q_max=9,2т; M_max=17,16тм.

4. Подбор балки квадратного сечения.

М_max=17,16тм; []=1600кг/см². Условие прочности: _max=M_max/W[].

Отсюда момент сопротивления равен WM_max/[].

Для квадратного сечения W=b³/6;

.

Для круглого сечения ; .

Пример выполнения задания 5

На рис. 5 изображена балка q=3т/м; а=4м; b=2м. Требуется построить эпюры изгибающего момента и поперечной силы.

q

R_B

x₂

R_c

x₁

A

B

C

a

b

1,7

4,17

7

2

Эпюра Q

Эпюра M

4

5

R_A

Р и с. 5

Решение

Запишем уравнения равновесия сил и моментов:

ΣX=0,

ΣY=R_A+R_B+R_C-q·a= R_A+R_B+R_C-12=0,

ΣM_C=-R_A(a+b) -R_B·b+q·a·(b+a/2)=-R_A·6-R_B·2+12·4=0.

Составим уравнение моментов.

Рассмотрим участок 0х₁4.

Тогда M(x₁)=R_A·x₁-3·x₁²/2=E·J·y₁″, интегрируя полученное дифференциальное уравнение, получим:

E·J·y₁′=R_A·x₁²/2-x₁³/2+C₁;

E·J·y₁=R_A·x₁³/6- x₂⁴/8+ C₁·x₁ +D₁.

Рассмотрим участок 0х₂2.

Тогда M(x₂)= R_C·x₂ =E·J·y₂″, интегрируя это уравнение, получим:

E·J·y₂′= R_C·x₂²/2+C₂;

E·J·y₂= R_C·x₂³/6+ C₂·x₂ +D₂.

Здесь C₁, D₁, C₂, D₂ – константы интегрирования.

Составим систему алгебраических уравнений для нахождения 7 неизвестных (R_A, R_B, R_C, C₁, C₂, D₁, D₂), используя условия закрепления: y₁(0)=0; y₂(0)=0; y₁(4)=0, y₂(2)=0; y₁′ (4)= -y₂′ (2):

Решая эту систему, находим: R_A=5; R_B=9; R_C=-2; C₁=-16/3; D₁=0; C₂=4/3; D₂=0.

Делаем проверку этой системы:

Сделаем проверку уравнений моментов для других опор:

Выполним построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента.

На участке 0х₁4 имеем:

Q₁= R_A-3·x₁, M₁= R_A·x₁- 3·x₁²/2;

при x₁=0 Q₁=5, M₁=0;

при x₁=4 Q₁=-7, M₁=-4; Q₁(x)=0 при 5-3x₁=0, x₁=5/3≈1,7.

M₁(5/3)=5·5/3-3/2·(5/3)²=25/6≈4,17.

На участке 0х₂2 имеем:

Q₂=- R_C, M₁= R_C·x₂;

при x₂=0 Q₂=2, M₂=0; при x₂=2 Q₂=2, M₂=-4.

Эпюры поперечной силы и изгибающего момента приведены на рис. 5.

Пример выполнения задания 6

В точке деформированного тела известны напряжения на взаимно перпендикулярных наклонных площадках (рис. 6) _x=1000кг/см²; _y=400кг/см²; _xy=200кг/см²; материал - сталь Е=210⁶кг/см²; =0,3.

Определить:

1) величину и направление главных напряжений;

2) максимальные касательные напряжения;

3) относительные полные деформации по главным направлениям;

4) относительное изменение объема;

5) удельную потенциальную энергию деформаций.

Решение

σ₂

σ_y

σ₁

σ₂

α

σ_y

τ_yx

τ_xy

n₁

τ_yx

α

n₂

τ_xy

σ_x

σ₁

Р и с. 6

1. Величина главных напряжений аналитически определяется по формуле

Подставив числовые значения, получим

₁=1060 кг/см², ₂=340 кг/см².

Проверить правильность вычислений можно с помощью закона суммы нормальных напряжений, согласно которому _x+_y=₁+₂. После подстановки числовых значений, имеем: 1000+400=1060+340.

Итак, главные напряжения будут соответственно равны: ₁=1060 кг/см², ₂=340 кг/см², ₃=0 (₁>₂>₃).

Положение главных площадок определяется по формуле

Используя таблицы или калькулятор, находим =-16^51^. Следовательно, нормали к главным площадкам образуют углы 16^51^ с нормалями к наклонным площадкам (угол  откладывается от горизонтальной оси OX, против часовой – положительный, по часовой - отрицательный). Вдоль n₁ действует ₁=_max, вдоль n₂ - ₂=_min. Главные площадки перпендикулярны главным направлениям n₁ и n₂. Положение элемента, выделенного по главным площадкам представлено на рис. 6.

2. Максимальное касательное напряжение аналитически можно определить как полуразность главных напряжений:

3. Относительные деформации по главным направлениям для плоского состояния определяются по формулам закона Гука:

; ; ;

или в числовых значениях:

;

;

.

4. Относительное изменение объема можно определить по двум зависимостям:

а) через напряжения

b) через деформации

5. Полную удельную потенциальную энергию деформаций определим по формуле

Полная потенциальная энергия состоит из двух частей. Первая из них представляет удельную потенциальную энергию, возникающую в результате изменения объема тела

Вторая часть энергии образуется за счет изменения формы

Сделаем проверку: u= u₀+u_ф =0,065+0,191=0,256кг/см²

Пример выполнения задания 7

Стальной стержень, защемленный на обоих концах, сжимается под действием силы Р. Найти размеры поперечного сечения при [σ] =1600 кг/см², Р=30т, l=2,4 м. Сечение – равносторонний треугольник со стороной a (рис. 7).

Р и с. 7

Решение

Подбор сечения производим путем последовательных приближений. В первом приближении принимаем коэффициент уменьшения допускаемого напряжения φ =0,5. Определяем необходимый размер сечения a. В нашем примере для треугольного сечения получим

_ _ _________

37,6=(a·a·√3/2)/2=a²√3/4; откуда a=√37,6·4/√3 =9,3см.

Минимальный радиус инерции сечения J определяется по формуле

____

i_min=√J_min/F.

Для упрощения последующих вычислений минимальный момент инерции и минимальный радиус инерции следует выразить через заданный параметр сечения a. Известно, что наименьшее значение момента инерции будет относительно главной центральной оси, перпендикулярной оси симметрии.

_ _

Он равен J_min=b³·h/48, где b=a, h=a·√3/2, тогда i_min= a ³·a√3/2/48; площадь

_ _____ _

сечения F=a²√3/4, i_min=√J_min/F=a/√24=0,204a, тогда i_min=0,204·9,3=1,9см . Гибкость λ=μ·l/i_min=0,5·240/1,9=63, где μ – коэффициент приведения длины. Для стержней с обоими защемленными концами μ =0,5. По табл. 7.2 находим φ=0,84. Так как найденное значение φ не совпадает с принятым, зададимся полусуммой этих коэффициентов.

Итак, φ=(0,5+0,84)/2=0,67. Дальнейший порядок определения коэффициента остается прежним F=30000/(0,67·1600)=28см²,

_ ______

28=a²√3/4; a=√28·4/√3=8,05см;

i_min=0,204·a=0,204·8,05=1,64, λ=μ /i_min=0,5·240/1,64=73.

По табл. 7.2 находим φ=0,79. Снова получим расхождение коэффициентов φ, однако разница между ними уменьшилась. Снова берем полусумму коэффициентов.

Теперь φ=(0,67+0,79)/2=0,73; F=30000/(0,73·1600)=26,7 см²;

_ ________

26,7=a·²√3/4; a=√26,7·4/√3 =7,7 см; i_min=0,204·7,7=1,57 см;

λ=0,5·240/1,57=76. По табл. 7.2 находим φ=0,77.

Снова вычислим φ=(0,73+0,77)/2=0,75, F=30000/(0,75·1600)=25 см²,

_ ______

25=a²·√3/4; a=√25·4/√3=7,6 см; i_min=0,204·7,6=1,55 см; λ=0,5·240/1,55= 77,5. По табл. 7.2 находим φ=0,77. Сходимость коэффициентов достаточно близкая.

Проверка.

Определяем допускаемую нагрузку при последнем найденном коэффициенте φ и сопоставляем ее с заданной P_доп=φ[σ]·F= 0,77·1600·25=30700кг= 30,7т>P=30т. Расхождение от заданной нагрузки в пределах ±5% допускается. В нашем случае расхождение будет P%=(30,7-30)/30·100%=2,3%<5%.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Биргер И.А., Мавлютова Р.Р. Сопротивление материалов. М.: Издательство МАИ, 1994. 516 с.

2. Беляев Н.М. Сборник задач по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1972. 429 с.

3. Копнов И.А. Сопротивление материалов. Руководство для решения задач и выполнения. М.: Высшая школа, 2005. 353 с.

4. Лихарев К.К., Н.А. Сухова. Сборник задач по курсу “Сопротивление материалов”. М.:Машиностроение, 1980. 224 с.

5. Паршин Л.К., Беляев Н.М., Мельников Б.Е. Сборник задач по сопротивлению материалов. СПб.: Лань, 2008. 432 c.

6. Радченко В.П. Введение в механику деформируемых систем: Учебное пособие. Самара: Самарский гос. техн. университет, 2009. 241 с.

7. Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности. М.: Высш. шк., 2000. 286 с.

8. Сапунов В.Т. Классический курс сопротивления материалов в решениях задач. М.: УРСС, 2007. 154 с.

9. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. М.: Мир, 1976. 669 с.

10. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Изд.-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 592 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Порядок выполнения и защиты учебного задания...…….………………………………..1

Теоретические вопросы……………………………………………………………………..1

Темы и варианты учебных заданий………………………………………………...………1

Методические указания к выполнению учебных заданий……………………..………..36

Библиографический список……………………………………….……………………….51

52