2.5. Годичные нетто-ставки страхования жизни

Годичная нетто-ставка предполагает уплату взносов в начале каждого года в течение всего срока страхования. Страхователь погашает свои финансовые обязательства равными долями. При этом его общий страховой взнос будет больше, чем при единовременном погашении. Это объясняется тем обязательством, что при единовременной уплате взноса сразу вся сумма начинает приносить доход, во втором случае вся сумма частями входит в процесс капитализации.

Кстати, отсюда следует, что годичная нетто-ставка не равна результату деления единовременной нетто-ставки на число лет срока страхования.

Однако ежегодное погашение всего взноса значительно выгоднее для основной массы населения, так как нет необходимости иметь в конкретный момент времени большую денежную сумму. Поэтому смешанное страхование с годичными взносами получило широкое распространение.

2.5.1. Годичная нетто-ставка на дожитие

Договор страхования, как и в случае единовременной нетто-ставки, определяется возрастом застрахованного x и сроком n страхования. Тарифная нетто-ставка, обозначаемая символом , определяется, кроме того, нормой доходности i.

Для вычисления нетто-ставки опять воспользуемся понятием потока наличности. В данном случае этот поток будет более сложным, чем в предыдущих случаях, так как, согласно условиям договора, здесь доходы будут присутствовать каждый год.

Примем, как и выше, число застрахованных, доживших до возраста x, согласно таблице смертности, за величину l_x. Тогда в момент времени t = 0, соответствующий дате заключения договора, страховщик получит сумму, равную рублей. В конце первого года (или в начале второго) страховщик получит сумму рублей от числа доживших до возраста x+1 лиц и т.д. В начале последнего года страхования страховщик получит сумму рублей и в конце последнего года выплатит страховую сумму l_x+n·1 рублей лицам, дожившим до возраста x+n.

Данная схема поступлений и платежей изображена на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 – Поток наличности при страховании на дожитие с годичными взносами

Найдём текущую стоимость A(0) этого потока наличности:

.

Приравнивая текущую стоимость этого потока к нулю и перенося известные в правую часть, получим равенство , из которого получаем нетто-ставку

. (2.17) Для представления правой части из (2.17) через коммутационные числа умножим её числитель и знаменатель на величину V ^x и воспользуемся

определением (2.4) :

. (2.18)

Знаменатель выражения (2.18) выразим через коммутационные числа N_x,, согласно определению (2.5) по аналогии с равенством (2.15):

= N_x – N_{x + n.}. (2.19)

Подставляя равенство (2.19) в выражение (2.18) , найдем годичную нетто-ставку на дожитие с 1 рубля страховой суммы:

. (2.20)

Пример 2.4. Найти годичную нетто-ставку на дожитие от возраста 45 лет сроком на 15 лет при норме доходности i = 0,03.

Решение. По формуле (2.20) и таблице 2.2 находим, что

.

Небезынтересно сравнить эту нетто-ставку с аналогичной единовременной нетто-ставкой , полученной в примере 2.1. Единовременная нетто-ставка в 11,6 раз (а не в 15) больше годичной нетто-ставки. Здесь проявляется накопительная сущность страхования жизни, сближающая его со сберегательным делом.