5.2. Методика Росстрахнадзора (I)

Основная идея вычисления нетто-ставки в любом виде страхования состоит в создании такого страхового фонда Ω, которого хватило бы для покрытия суммы будущих выплат S_в по страховым случаям данного портфеля договоров. Математически это означает выполнение неравенства

(5.2)

Величина S_в является случайной, поэтому ни одно разумное значение Ω не может гарантировать выполнение неравенства (5.2). Можно лишь говорить о вероятности его выполнения. Обычно страховщик выбирает эту вероятность, равной заданному числу γ : гарантии безопасности, то есть полагает, что

(5.3)

Величину γ обычно выбирают достаточно близкой к единице, например, γ = 0,85, или γ = 0,9, или γ = 0,95 и т.д.

Чем величина γ ближе к единице, тем достовернее выполняется неравенство (5.2). При γ = 1 страховой фонд должен быть равен бесконечности. Выбор гарантии безопасности определяется характером страховщика. Чем меньше величина γ, тем меньше страховой фонд Ω и, следовательно, меньше тарифная ставка. В этом случае данный вид страхования становится более привлекательным для страхователя, но риск невыполнения страховых обязательств страховщиком возрастает. При увеличении гарантии безопасности γ страховой фонд Ω возрастает и, следовательно, тарифная ставка увеличивается, что приводит к уменьшению её конкурентоспособности. Но зато уменьшается риск невыполнения обязательств.

Равенство (5.3) является базой для вычисления страхового фонда. Если известен закон, по которому распределена случайная величина S_в, то стандартными методами теории вероятностей из (5.3) можно найти Ω. Методика I Росстрахнадзора [10] основана на том обстоятельстве, что при не очень обременительных предложениях случайная величина S_в имеет нормальный закон распределения. Сформулируем эти предположения:

1. Страховой портфель содержит n однотипных договоров, причём величина n известна заранее.

2. Вероятность наступления страхового случая не зависит от номера договора и равняется известному числу q.

3. Предполагается независимость наступления страховых случаев по отдельным договорам.

4. Число договоров n достаточно велико. Например, выполняется неравенство

. (5.4)

5. Имеется статистика по данному виду страхования, которая будет конкретизирована ниже.

Предположение 1 сделано для простоты изложения материала.

Допускается, вообще говоря, существование m типовых рисков (j = 1,2,…,m). Нужно лишь, чтобы n_j были достаточно велики, вероятность наступления страхового случая по всем договорам j-го сорта риска равнялась q_j и выполнялось условие независимости наступления страховых случаев.

Предположение 3 является существенным для данной методики и означает, что нет катастрофических событий природного или техногенного характера, приводящих к разрушению всех застрахованных объектов или значительной их части (землетрясения, пожары, цунами и т.д.).

Итак, пусть имеется n однотипных договоров. Пусть i – номер договора (i = 1, 2, … n), S_вi – будущая выплата по i-му договору, происходящая в результате наступления страхового случая. Для того чтобы выразить суммарные выплаты по всему портфелю через выплаты по каждому договору, необходимо ввести так называемые индикаторные функции для каждого из договоров, указывающие на появление страхового случаев. Эти функции вводятся соотношением

Случайные величины E_i являются дискретными, и их законы распределения полностью определяются таблицей 5.1 перечня значений, которые они принимают, и вероятностями появления этих значений:

_{Таблица 5.1 – Закон распределения случайных величин Ei}

Ei	0	1
P	1 – q	q

Тогда по определению можно найти математическое ожидание и дисперсию величин E_i :

ME_i = 0 × (1 – q) + 1 × q = q ,

DE_i =

Теперь случайную величину S _в можно представить в виде

. (5.5)

Равенство (5.5) означает, что в суммарные выплаты дают вклад только те договора, по которым произошли страховые случаи.

Найдём математическое ожидание каждого слагаемого в правой части равенства (5.5)

ME_iS_вi = ME_i × MS_вi = q × . (5.6)

В равенстве (5.6) использовалось предположение, что величины E_i и S_вi независимы. Это предположение соответствует интуитивному представлению о том, что вероятность наступления страхового случая по i-му договору не зависит от величины страховой выплаты по тому же договору. Символ обозначает математическое ожидание или среднюю выплату по i-му договору. Здесь индекс i отсутствует, так как риски являются однотипными, то есть = .

Дисперсию величины E_iS_вi найти несколько сложнее. По определению дисперсии

(5.7)

Теперь также по определению

. (5.8)

Введём обозначение

(5.9)

где индекс «i» в правой части опущен ввиду однотипности договоров. Подставляя (5.9) в (5.8), а (5.8) в (5.7), получим

(5.10)

Элементарные преобразования равенства (5.10) приводят к соотношению

(5.11)

Из равенств (5.6) и (5.11) видно, что математическое ожидание и дисперсия каждого слагаемого суммы (5.5) являются постоянными величинами и в то же время сами слагаемые независимы ввиду предложения III методики. Отсюда следует, что сумма выплат имеет закон распределения, близкий к нормальному ввиду центральной предельной теоремы и неравенства nq 10, то есть с достаточной степенью точности можно считать случайную величину S _в распределённой по нормальному закону.

Математическое ожидание S _в имеет на основании формулы (5.6) вид

Для нахождения дисперсии S _в необходимо опять воспользоваться независимостью случайных величин S _в . Только в этом случае

(5.12)

Подставляя (5.11) в (5.12), получим равенство

Информация о математическом ожидании и дисперсии величины S полностью её определяет, поэтому

(5.13)

где – известная функция Лапласа.

Подставляя (5.3) в (5.13), получим

(5.14)

Из (5.14) следует равенство для страхового фонда

(5.15)

где определяется равенством

(5.16)

и находится из таблиц функции Лапласа.

Значения параметра в зависимости от гарантии безопасности даны в таблицы 5.2.

Таблица 5.2 – Таблица для вычисления показателя t

	0,84	0,90	0,95	0,98	0,9986
	1,0	1,3	1,645	2,0	3,0

Из формулы (5.15) находим

или (5.17)

Итак, страховой фонд по заданному страховому портфелю найден. Пройдём теперь к вычислению нетто-ставки Т_н , которая в рисковых видах страхования рассчитывается со 100 рублей страховой суммы

Обозначим через S общую страховую сумму по всему страховому портфелю, тогда страховой фонд определяется равенством

. (5.18)

Страховая сумма S выражается через среднюю страховую сумму по одному договору равенством

S = n × . (5.19)

Равенство (5.19) является приближённым, так как величина S является случайной, а именно, зависит от воли страхователей и до заключения договоров неизвестна. В методике I равенство (5.19) постулируется, что является её недостатком. В работе [9] этот недостаток устранён, нетто-ставка получена в предположении, что S – случайная величина. Впрочем, если число договоров n достаточно велико, то равенство (5.19) является достаточно точным.

Из (5.17), (5.18), и (5.19) получается уравнение для нетто-ставки Т_н :

(5.20)

Решая (5.20), находим

, (5.21)

Напомним, что в равенстве (5.21)

q – вероятность наступления страхового случая,

– средние выплаты по одному договору;

– средняя страховая сумма по одному договору;

– среднее квадратическое отклонение от средних выплат по одному договору;

– величина, вычисляемая по формуле на основании таблиц функции Лапласа и заданной гарантии безопасности .

Значения параметра при некоторых значениях гарантии безопасности представлены в таблице 5.2.

Нетто-ставку Т_н обычно представляют в виде равенства Т_{н =} Т_о + Т_р ,

где Т_о – основа нетто-ставки, Т_{р –} рисковая надбавка.

Исходя из равенства (5.21),

, (5.22)

. (5.23)

Основа нетто-ставки в Методике I Росстрахнадзора, определяемая по формуле (5.22), совпадает с оценкой убыточности страховой суммы. Действительно, убыточность у (со 100 рублей страховой суммы) определяется равенством

. (5.24)

Выразим общее возмещение S_в через среднее возмещение на один договор по формуле .

Аналогично общая страховая сумма S записывается формулой .

Тогда формула (5.24) принимает вид

. (5.25)

Если вспомнить, что есть статистическая вероятность наступления страхового события, близкая к величине q, то формулы (5.22) и (5.24) окажутся практически идентичными. Таким образом, основы нетто-ставки в этих двух методиках принципиально совпадают.

Основа нетто-ставки соответствует средним выплатам страховщика, зависящим от вероятности наступления страхового случая q, средней страховой суммы и среднего возмещения . Рисковая надбавка учитывает вероятные повышения количества страховых случаев относительно их среднего значения.

Пример 5.1. Страховая компания заключает договоры имущественного страхования с параметрами: вероятность наступления страхового случая равна 0,03, средняя страховая сумма по одному договору равна 800 руб., среднее возмещение при наступлении страхового случая равно 300 руб., количество договоров 500, среднее квадратическое отклонение от среднего возмещения равно 35 руб., гарантия безопасности , доля нагрузки в брутто-ставке равна 30%. Найти брутто-ставку.

Решение. Найдём основу нетто-ставки: .

Рисковая надбавка: .

На основании таблицы 5.2 значение , следовательно, . Нетто-ставка

Брутто-ставка

Таким образом, брутто-ставка составляет 2 рубля 13 коп. со 100 рублей страховой суммы.

Во многих случаях, особенно при расчёте тарифных ставок по новым видам страхования, статистика страховых сумм и возмещений отсутствует. В такой ситуации приходится оценивать максимальные значения рисковой надбавки и основы нетто-ставки так, чтобы полученные оценки уже не содержали некоторые из неизвестных параметров. Эти оценки и принимаются за нетто-ставки при отсутствии статистики.

Оценим рисковую надбавку при неизвестном коэффициенте вариации . На рисунках 5.3 – 5.6 приведены иллюстрации возможных плотностей распределений выплат со средними значениями .

1. На рисунке 5.3 пик распределения выплат находится вблизи , выплаты тесно сгруппированы около средней, отношение относительно невелико.

2. На рисунке 5.4 пик распределения выплат также находится вблизи , но кривая распределения является более пологой, чем на рисунке 5.4, следовательно, разброс выплат вокруг средней больше и отношение больше, чем в предыдущем случае.

3. На рисунке 5.5 изображён предельный по отношению к первым двум вариантам случай, когда равновероятно появление выплат как вблизи средней выплаты , так и на границах их возможных значений. В данном случае коэффициент вариации будет максимальным среди первых трех вариантов.

4. На рисунке 5.6 изображён самый опасный для страховщика, но практически не реализуемый в действительности случай, когда выплаты сосредоточены на границах их возможных значений – около 0 и S_{в max}.

При этом значение

Таким образом, для реальных ситуаций (рисунки 5.3 – 5.5) величина принимает максимальное значение, когда закон распределения выплат изображен на рисунке 5.5 Но это равномерный закон распределения. Для него вычислено точное значение коэффициента вариации, а именно: .

Следовательно, для всех случаев реальной страховой практики выполняется неравенство .

Отсюда вытекает оценка:

. (5.26)

Итак, при отсутствии статистики для определения среднего квадратического отклонения от средних выплат в качестве рисковой надбавки на основании оценки (5.26) следует воспользоваться формулой

. (5.22)

Оценку (5.27) можно упростить, если воспользоваться неравенством

, (5.28)

верным при . В этом случае на основании оценки (5.28) .

Окончательно, согласно рекомендациям Росстрахнадзора, при неизвестном

(5.29)

при условии q > 0,25 или

(5.30)

в случае условия .

Во многих случаях не только , но и и неизвестны, то есть нет практически никакой страховой статистики. В такой ситуации Росстрахнадзор рекомендует принимать отношение средней выплаты к средней страховой сумме не ниже:

0,4 – при страховании наземного транспорта;

0,6 – при страховании средств воздушного и водного транспорта;

0,5 – при страховании грузов и имущества, кроме средств транспорта;

0,7 – при страховании ответственности владельцев автотранспортных средств и других видов ответственности и страховании финансовых рисков.

Пример 5.2. страховая компания заключает договор имущественного страхования с параметрами: вероятность наступления страхового случая равна 0,02, средняя страховая сумма равна 6 500 рублей, среднее возмещение 250 рублей, количество договоров равно 500, доля нагрузки в брутто-ставке 30%. Найти брутто-ставку при гарантии безопасности 0,95.

Решение. При отсутствии информации о разбросе возмещений следует воспользоваться либо формулой (5.29), либо формулой (5.30). Но так как вероятность , то можно воспользоваться формулой (5.30). Согласно таблице 5.2, коэффициент . Подставляя это значение в (5.30), получим

.

Окончательно брутто-ставка .

Пример 5.3. Страховая компания заключает договор страхования автотранспортных средств от угона. Согласно статистике органов УВД региона, вероятность угона автотранспортных средств страхуемых марок равна 0,15. При количестве договоров 100% гарантии безопасности 0,95 и доле нагрузки 25% найти брутто-ставку.

Решение. Разброс возмещений неизвестен, следовательно, необходимо воспользоваться формулой (5.30). Далее средняя страховая сумма и среднее возмещение также неизвестны. Поэтому согласно рекомендациям Росстрахнадзора, в формуле (5.30) коэффициент убыточности можно взять равным 0,4:

.

Брутто-ставка .

Как указывалось выше, методика Россгострахнадзора (I) обусловлена рядом формальных и скрытых предположений. К наиболее существенным скрытым предположениям относится допущение, что страховые суммы по всем договорам страхового портфеля совпадают. В работе [9] было получено обобщение методики (I), где страховые суммы S_i по различным договорам рассматривались как случайные величины. При этом для нетто-ставки Т_н была получена следующая формула

(5.31)

где - среднее квадратическое отклонение страховой суммы по одному договору от средней страховой суммы. Формула (5.31) уже учитывает разброс страховых сумм по различным договорам относительно средней страховой суммы с помощью показателя . Формула (5.31) обобщает формулу (5.21). При этом основа нетто-ставки в формуле (5.31) совпадает с основой нетто-ставки, определяемой по формуле (5.22), а рисковая надбавка из (5.31) не совпадает с формулой (5.23). Если же положить в (5.31) то есть страховые суммы по всем договорам совпадают, то формула (5.31) совпадёт с формулой (5.21).

Следует отметить, что _н > Т_н при выполнении неравенства

n < (5.32)

Это означает, что при малых значениях n, удовлетворяющих неравенству (5.32) нетто-ставка из «Методики (I)», рассчитанная по формуле (5.21), оказывается заниженной и не обеспечивает заданной гарантии безопасности.

Если выполняется неравенство

n > ,

то < Т_н , то есть нетто-ставка из «Методики (I)» оказывается завышенной. Следует отметить, что Федеральная служба страхового надзора не возражает против завышения тарифов, так как в этом случае финансовая устойчивость страховой организации повышается. Существенные возражения при занижении тарифа могут возникнуть по двум обстоятельствам. Во-первых может понизиться финансовая устойчивость страховой организации. Во-вторых, у страховой организации могут обнаружиться признаки стратегии демпингования.

Пример 5.4. Страховая компания заключает договора имущественного страхования с параметрами: вероятность наступления страхового случая равна 0,03, средняя страховая сумма по одному договору равна 800 рублей, среднее квадратическое отклонение от средней страховой суммы равно 150 рублей, среднее возмещение при наступлении страхового случая равно 300 рублей, количество договоров 500, среднее квадратическое отклонение от среднего возмещения равно 35 рублей, гарантия безопасности доля нагрузки в брутто-ставке равна 30 %. Найти брутто-ставку.

Решение. Найдём основу нетто-ставки: Т₀ = 100 × 0,03 ×

Рисковая надбавка:

На основании таблицы 5.2 значение t следовательно, Т_р = 0,39. Нетто-ставка _н = Т₀ + Т_р = 1,12 + 0,39 = 1,51. Бруто-ставка

Таким образом, брутто-ставка составляет 2 рубля 16 копеек со 100 рублей страховой суммы. Следовательно, брутто-ставка, рассчитанная по уточнённой методике оказалось больше, чем рассчитанная по методики (1) Росстрахнадзора в примере 5.1. Следует отметить, что разница небольшая, всего лишь 3 копейки.

В завершение параграфа можно отметить, что имеются и другие обобщения Методики (I) Росстрахнадзора. Так в работе [7] дано обобщение Методики (I), учитывающее инфляцию и наращение страховых резервов.