4.2. Отсроченные пенсии

Отсроченные пенсии представляют собой пенсионные схемы, в которых взносы вносятся раньше, чем начинаются выплаты пенсий. В связи с этим обстоятельством взносы классифицируются на единовременные, годичные и ежемесячные. Аналогично, будем рассматривать годичные и месячные пенсионные выплаты. Комбинируя способы накопления и выплаты пенсий, можно построить чрезвычайно много видов пенсионных схем. От фантазии страховщика и точности расчёта актуария зависит, насколько та или иная пенсионная схема станет привлекательной для населения, не обременит компанию и, следовательно, будет использоваться на практике.

Рассмотрим различные пенсионные схемы этого типа.

Первая схема соответствует единовременному взносу Р с отсрочкой выплаты пенсии на п лет от момента заключения договора. При этом предполагается, что по договорам умерших до выплаты первой пенсии взнос Р возвращается выгодоприобретателю. Предполагается также, что пенсия выплачивается в начале каждого года в течение т лет.

Поток наличности, соответствующий этой схеме, изображён на рисунке 4.2, где число застрахованных равно числу l_x, доживших до возраста х. Пенсию такого типа будем называть отсроченной пенсией с единовременным взносом, годичными пенсионными выплатами, возвратом взносов выгодоприобретателям и обозначать символом

Рисунок 4.2 – Поток наличности при страховании отсроченной пенсии с единовременным взносом, годичными пенсиями и возвратом взносов выгодоприобретателям

Приравнивая текущую стоимость этого потока наличности к нулю, получим уравнение

, из которого находим, что

. (4.7)

С помощью коммутационных чисел выражение (4.7) принимает вид:

. (4.8)

Пример 4.5. Найти величину реальной страховой ренты с отсрочкой выплат 10 лет, с последующими выплатами в течение 15 лет в начале каждого года для возраста 45 лет при единовременном взносе 10 млн рублей, доле нагрузки 25%, норме доходности i = 0,03.

Решение. Найдём по формуле (4.8) величину идеальной страховой ренты:

Для того чтобы найти реальную ренту, достаточно вспомнить, что на выплату пенсии идет не вся сумма Р , а ее часть, остающаяся после вычета нагрузки. Таким образом,

Дадим оценку отсроченной пенсии с единовременным взносом, годичными пенсиями и без возврата взносов выгодоприобретателям в случае смерти участника пенсионного фонда до первого получения пенсии. Обозначим величину этой пенсии символом Тогда

(4.9)

Ясно, что пенсия без возврата взносов будем больше, чем пенсия с возвратом взносов, так как во втором случае пенсионный фонд уменьшается. Обе схемы являются востребованными: в первом случае, если нет выгодоприобретателей, во втором, если выгодопреобретатели имеются.

Проведём на примере сравнительный анализ значений пенсий с возвратам и без возврата взносов.

Пример 4.6. Найти величину реальной страховой ренты без возврата взносов с отсрочкой выплаты 10 лет с последующими выплатами в течение 15 лет в начале каждого года для возраста 45 лет на дату заключения договора при единовременном взносе 10 млн рублей, доле нагрузки 25 %, норме доходности i = 0,03.

Решение. Найдём по формуле (4.9) величину идеальной страховой ренты:

Реальную страховую ренту без возврата взносов при учёте нагрузки найдём по формуле

В абсолютном выражении годичный рентный платёж увеличился на 54 776 рублей, в относительном – на 6 %. Цена этого повышения – возврат 10 млн рублей единовременного взноса.

Рассмотрим ту же самую пенсионную схему с ежегодным внесением пенсионного взноса Р и возвратом взносов. Поток наличности, соответствующий этой схеме, изображен на рисунке 4.3. Величину пенсии будем обозначать символом

Рисунок 4.3 – Поток наличности при страховании отсроченной пенсии с годичными взносами, годичными пенсиями и возвратом взносов выгодоприобретателям

Уравнение, определяемое нулевой текущей стоимостью этого потока наличности, имеет следующий вид:

. (4.10)

Умножим обе части этого равенства на величину V^x и воспользуемся определением (2.4) – (2.8) коммутационных чисел. Тогда уравнение (4.10) примет вид:

= . (4.11)

Если теперь воспользоваться формулой (2.33 ), то уравнение (4.11) преобразуется к виду: ,

следовательно,

(4.12)

Пример 4.7. Найти величину ежегодного рентного взноса от возраста 40 лет с отсрочкой пенсии на 15 лет при условии, что рента с возвратом взносов выплачивается в течение 10 лет в начале каждого года, норма доходности равна 3%, доля нагрузки равна 20%, ежегодная рента равна 1 млн рублей.

Решение. Согласно формуле (4.12)

Брутто-взнос находится по формуле рублей.

Оценим величину отсроченной пенсии с годичными взносами, годичными пенсиями без возврата взносов выгодоприобретателям. Обозначим величину пенсии символом Схема этого потока наличности отличается от схемы, изложенной на рисунке 4.3, отсутствием возврата взносов Рd_x,, 2 Pd_x+1, …, n Pd_x+n-1 . Поэтому величина соответствующей пенсии по аналогии с формулой (4.12) примет вид

Аналогичным образом, можно найти отсроченные пенсии с возвратом взносов выгодоприобретателям с годичным взносами и месячными пенсиями; месячными взносами и годичными пенсиями; месячными взносами и месячными пенсиями по формулам

(4.13)

Оценим пожизненную пенсию в случае формулы (4.13). По условию пожизненной пенсии х + n + m = w, то есть m = w - x – n. В этом случае N_x+n+m+1 = 0 и для пожизненной пенсии формула (4.13) принимает вид

(4.14)

В завершение раздела оценим величину усреднённого значения страховой части государственной пенсии по старости. Согласно пенсионному законодательству в РФ, страховая часть пенсии по старости формируется на основании принципа солидарной ответственности и не предполагает возврат взносов выгодоприобретателям в случае смерти участника Пенсионного фонда РФ до наступления первой пенсионной выплаты. Следовательно, величина страховой части государственной пенсии по старости П_гос на основании формулы (4.14) принимает вид

(4.15)

Оценим значения показателей, входящих в формулу (4.15). Величина Р представляет собой ежемесячный взнос участников Пенсионного фонда РФ. Эту величину можно оценить на основании средней заработной платы по Российской Федерации, которую можно принять равной 15 000 рублей. Определённая процентная часть от этой суммы определяет величину Р отчислений в ПФ РФ. Для различных категорий населения РФ процентные части различны. В среднем процентную часть можно считать равной 14 %. Тогда величину Р можно определить из равенств Р = 15 000 × 0,14 = 2 100 рублей. Величина х – это возраст участника Пенсионного фонда РФ на дату заключения пенсионного договора. Будем считать, что в среднем трудовая деятельность начинается с 20-ти лет, то есть х = 20 лет.

Оценим величину n. Будем оценивать пенсию для граждан женского пола. Тогда n = 35 лет. Для мужчин n = 40 лет. Оценим величину i. Безрисковая процентная ставка считается равной примерно 5 %. Примем норму доходности равной 3 %. В качестве доли нагрузки примем f = 0, 04. Тогда на основании формулы (4.15) и таблицы 2.2 получим

рублей,

соответственно для мужчин

рублей.

Разница в пенсиях объясняется тем фактом, что Пенсионный фонд для мужчин накапливается без расходования средств на 5 лет больше и поступает средств в него соответственно также больше.

Следует отметить, что полученая расчётная пенсия для мужчин соответствует государственным пенсиям по старости для городского населения в советское время. Если учесть, что покупательная способность российского рубля по сравнению с советским рублём упала примерно в 120 раз, то перерасчёт полученной пенсии составит 120 рублей в месяц.