4. Страхование пенсий

Страхование пенсий также относится к накопительным видам страхования. Идея пенсионного страхования состоит в том, что страхователь вносит единовременно или частями определённую сумму страховщику, который обязуется выплачивать пожизненно или в течение ряда лет пенсию. В соответствии с условиями договора пенсии подразделяются на немедленные и отсроченные. В первом случае пенсия выплачивается сразу после заключения договора, во втором – по истечении ряда лет. Выплаты, по желанию страхователя, могут быть как годичные, так и месячные. При исчислении пожизненной пенсии длительность жизни принимается равной предельному возрасту таблицы смертности.

Расчёт пенсий базируется так же, как и в случае страхования жизни, на принципах капитализации нетто-фонда, демографического прогнозирования и эквивалентности финансовых обязательств сторон. При этом принцип демографического прогнозирования реализуется с помощью таблиц смертности.

Следует отметить, что согласно российскому законодательству пенсии могут начинать выплачиваться при достижении пенсионного возраста. Однако в рамках негосударственного пенсионного обеспечения пенсии могут выплачиваться и ранее наступления возраста. Такие пенсии носят название страховых рент.

4.1. Немедленно начинающиеся пенсии

Пусть х – возраст застрахованного, Р – взнос страхователя, – немедленная годичная пенсия от возраста x лет на срок n лет. Рассмотрим вначале случай пожизненного страхования когда срок страхования, n = w – x, w – предельный возраст таблицы смертности. Для годичных пенсий схема потока наличности изображена на рисунке 4.1.

0 0

Рисунок 4.1 – Поток наличности для годичной немедленно начинающейся пенсии

Текущая стоимость этого потока определяется формулой

.

Приравнивая текущую стоимость к нулю, получим выражение для немедленно начинающейся пенсии вида:

. (4.1)

В формулу (4.1) для немедленно начинающейся годичной пенсии не учитывается нагрузка, то есть формула (4.1) является аналогом нетто-ставки в страховании жизни. Эту пенсию можно назвать идеальной пенсией в отличии реальной пенсии, учитывающей расходы на ведение дел и другие виды нагрузки. Термин «нетто-пенсия» является недостаточно корректным, так как величина нетто всегда меньше величины брутто. Очевидно, что величина идеальной пенсии должна быть больше реальной пенсии.

Оценим реальную пенсию, обозначив её символом , при доле нагрузки f. В этом случае нагрузка определяется величиной fP, а величина Р (1-f ) формирует пенсионный фонд. Следовательно, величина реальной пенсии определяется равенством.

.

В дальнейшем будем искать идеальные пенсии, опуская термин «идеальная». Для нахождения реальной пенсии необходимо идеальную пенсию умножить на величине 1 – f.

Пример 4.1. Найти немедленную годичную пожизненую страховую ренту от возраста х = 45 лет при цене ренты 1 млн рублей и норме доходности i = 0,03.

Решение. Согласно формуле (4.1)

Можно поставить и обратную задачу: найти рентный взнос, гарантирующий заданную ежегодную ренту. Соответствующая формула имеет вид

. (4.2)

Пример 4.2 Найти величину рентного нетто-взноса, гарантирующего немедленную годичную пожизненную ренту от возраста х = 40 лет в сумме 500 тыс. рублей при норме доходности i = 0,03.

Решение. На основании формулы (4.2) можно записать, что

Во многих случаях страхователям выгоднее заключать договор не на пожизненную, а на временную пенсию на определённое число п лет. Пенсии с заданным числом лет пенсионных выплат называются срочными пенсиями. Формулы расчёта таких пенсий по аналогии с формулами (4.1), (4.2) имеют вид:

, , (4.3)

, . (4.4)

Пример 4.3 Найти немедленную годичную страховую ренту от возраста х = 45 лет на срок 20 лет при рентном взносе 1 млн рублей и норме доходности i =0,03.

Решение. На основании формулы (4.3) имеем

Из сравнения ответов к примерам 4.1 и 4.3 следует, что уменьшение возраста окончания выплаты пенсий до реальной продолжительности жизни, близкой к средней, значительно увеличивает величину пенсии (на 34%).

Ежемесячные пенсии находятся аналогично. Вначале нужно найти годичные пенсии постнумерандо, когда выплаты производятся в конце каждого года, и разделить их на число месяцев. В этом случае срочная немедленная ежемесячная пенсия находится по формуле

x + n < w. (4.5)

Аналогично, на основании формулы (4.5) можно получить немедленную пожизненную ежемесячную пенсию в виде

(4.6)

так как по определению N .

Пример 4.4. Найти цену ренты, гарантирующую немедленную ежемесячную страховую ренту в размере 100 000 рублей от возраста 35 лет на срок 30 лет, при норме доходности i= 0,03.

Решение. По условию задачи необходимо воспользоваться формулой (4.5) и найти из нее величину Р: