3. Оценка погрешности в моделях страхования жизни

При расчёте тарифных ставок по страхованию жизни был сделан ряд допущений, которые могут привести к достаточно большим погрешностям. Например, при расчёте тарифа по каждому виду для целей прогнозирования на основании таблицы смертности предполагалось, что число застрахованных данного возраста совпадает с числом доживших до этого возраста согласно таблице смертности. При расчёте тарифов с месячными взносами делалось упрощение задачи, на основании которого в расчёт принималась накопленная за год сумма месячных взносов, сканцентрированная в конце года. Есть предположения, которые использовались неявно. Так, например, при расчёте тарифов на случай смерти предполагалось, что даты всех смертей в течение одного расчётного года сосредоточены в конце этого года.

В настоящем разделе будет дана оценка погрешностей, вызванных этими допущениями.

3.1. Независимость нетто-ставок страхования жизни от начального возраста таблицы смертности

В демографической статистике принято строить таблицу смертности исходя из совокупности 100 000 лиц нулевого возраста (новорождённых). Поэтому при расчёте нетто-премий, например от возраста Х, число застрахованных приходилось принимать равным числу доживших l_x до этого возраста из числа 100 000 новорождённых.

Если при расчётах число доживших до возраста Х принять равным числу застрахованных этого возраста, как это и должно быть, то фактически следует пользоваться таблицей смертности с другой совокупностью нулевого возраста. Для этой неизвестной таблицы и коммутационные числа будут другими, следовательно, и нетто-премии могут оказаться также другими.

В настоящем разделе покажем [11], что нетто-премии не зависят от числа лиц начального возраста или от самого начального возраста, с которого начинается строиться таблица смертности. Как следствие, будет обосновано применение стандартных таблиц коммутационных чисел.

Пусть l₀ – число лиц начального возраста.

l₁ = l₀ – d₀ = l₀ – q₀ = l₀ (l– q₀ ),

l₂ = l₁ (l– q₁ ) = l₀ (l– q₀ ) (l– q₁ ),

l₃ = l₂ (l– q₂ ) = l₀ (l– q₀) (l– q₁ ) (l– q₂ ),

l_x = l₀ (l– q₀ ) (l– q₁ ) … (l– q_x-1 ),

d_x = l_xq_x = l₀ (l– q₀ ) … (l– q_x-1) × q_x .

Если теперь ввести величину Р_х = 1 – q_x – вероятность не умереть в период от х до х+1 лет, то тогда

l_x = l₀ ,

d_x = l₀ .

Рассмотрим теперь единовременную нетто-ставку на случай смерти. Согласно формуле (2.14) имеем

Из формулы (3.1) видно, что величина l₀ сокращается, так как находится в числителе и знаменателе. Нетто-премия, таким образом, не зависит от числа лиц начального возраста, а зависит от вероятностей дожить или умереть в течение указанных лет. Более того, в формуле (3.1) участвуют только вероятности умереть от возраста х и выше. Следовательно, не имеет значения, от какого возраста (меньше, чем возраст х) начинается таблица смертности.

Эти два фундаментальных вывода имеют место для любых видов страхования жизни. Рассмотрим, к примеру, годичную нетто-премию на дожитие. На основании формулы (2.17) имеем

. (3.2)

Из формулы (3.2) также следует, что годичная нетто-премия на дожитие не зависит ни от числа лиц начального возраста, ни от самого начального возраста, а зависит только от вероятности умереть (и нормы доходности).