2.5.2. Годичная нетто-ставка на случай смерти

Пусть задан возраст застрахованного x, срок страхования n и норма доходности i .

Поток наличности, определяющий этот вид страхования, ещё более усложняется по сравнению с предыдущими случаями, так как здесь не только доходы, но и расходы страховщика носят периодический характер.

Годичную нетто-ставку на случай смерти будем обозначать символом . Число застрахованных принимается за величину l_x. Тогда в момент времени t=0, соответствующий дате заключения договора, страховщик получит сумму рублей. В конце первого года страховщик получит сумму от числа доживших до возраста x+1 лиц и выплатит сумму d_x·1 рублей по договорам, владельцы которых умерли в течение года и т. д. В начале последнего года страховщик получит сумму рублей и выплатит сумму ·1 рублей.

В конце последнего года страхования страховщик только выплатит сумму, равную ×1 рублей.

Эта схема платежей и поступлений изображена на рисунке 2.4.

. . .

. . .

Рисунок 2.4 – Поток наличности при страховании на случай смерти с годичными взносами

Найдём текущую стоимость того потока наличности:

.

Приравнивая к нулю текущую стоимость этого потока и уединяя неизвестную нетто-ставку в левой части, получим равенство

,

из которого следует выражение для вида

. (2.21)

Выразим теперь нетто-ставку через коммутационные числа. Для этого умножим числитель и знаменатель правой части выражения (2.21) на величину V и воспользуемся выражениями (2.4) и (2.6) для коммутационных чисел D_x, C_x :

. (2.22)

Числитель выражения (2.22) был уже найден по формуле (2.15), а знаменатель – по формуле (2.19).

Таким образом, годичная нетто-ставка на дожитие с 1 рубля страховой суммы принимает вид:

. (2.23)

Пример 2.5. Найти годичную брутто-премию на случай смерти от возраста x = 51 год на срок 20 лет при норме доходности i = 0,03 и доле нагрузки, равной 20%, с 10 000 000 рублей страховой суммы.

Решение. Согласно формуле (2.23) и таблице 2.2 находим нетто-ставку с 1 рубля страховой суммы:

Нетто-премия с 10 млн руб. имеет вид Т_н=0,016 ·10 000 000 = =160 000.

Брутто-премия Т_б =

2.5.3. Годичные нетто-ставки по смешанному

виду страхования жизни

Под смешанным страхованием здесь, как и всюду в настоящем пособии, понимается вид страхования, объединяющий страхование на дожитие и на случай смерти. Поэтому под страховым случаем понимается факт либо дожития от возраста x до возраста x+n , либо смерти в течение срока n лет. В соответствии с этим нетто-ставка по смешанному страхованию представляет собой сумму годичных нетто-ставок на дожитие и на случай смерти:

. (2.24)

Пример 2.6. Найти годичную брутто-премию по смешанному страхованию от возраста x = 25 лет на срок 35 лет с 1 млн руб. страховой суммы при норме доходности i = 0,03 и доле нагрузки 20%.

Решение. По формуле (2.24) и таблице 2.2 находим

Нетто-премия с 1 млн руб. равна

Т_н=0,05 ·1 000 000 = 50 000.

Брутто-премия равна Т_б =

В некоторых учебниках вывод годичных нетто-ставок приводился с помощью введения так называемых коэффициентов рассрочки. Однако их экономический смысл недостаточно ясен и недостаточно ясна правомерность их использования при выводе годичных нетто-ставок. Кроме того, применение коэффициентов рассрочки не позволяет проводить расчёты, учитывающие изменения нормы доходности.

Используемый в пособии подход единообразным способом даёт вывод как годичных, так и единовременных нетто-ставок, причём без введения новых понятий типа коэффициентов рассрочки. Применение к расчётам теории процентных ставок, в частности потоков наличности и силы процента, позволяет учитывать изменение нормы доходности и, следовательно, инфляцию.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Объясните, при годичных или единовременных взносах общий взнос будет больше.

2. Какой вид взносов (годичный или единовременный) выгоднее для основной массы страхователей?

3. Какой вид имеют формулы для нетто-ставок при годичных взносах?

4. В чём преимущества подхода к расчёту тарифных ставок страхования жизни, основанного на представлении процесса страхования потоком наличности?