Основные свойства определенного интеграла
1. Определенный интеграл с одинаковыми
нижним и верхним пределами интегрирования
равен нулю, то есть
.
При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный.
3. (Свойство аддитивности). Каковы бы
ни были числа
всегда имеет место равенство
.
(Предполагается, что функция
непрерывна на большем из трех отрезков
).
4. (Свойство линейности). Постоянный
множитель можно выносить за знак
определенного интеграла:
--константа.
Интеграл от
суммы (или разности) функций равен сумме
(соответственно, разности) интегралов
от этих функций:
.
5. (Свойство
монотонности). Если
и
,
то
.
Формула Ньютона-Лейбница
Если функция
непрерывна на отрезке
и функция
является некоторой ее первообразной
на этом отрезке, то имеет место формула
Ньютона-Лейбница
.
Введем обозначение для разности
.
Тогда
.
Пример 2.1. Вычислить
.
Так как одна
из первообразных для функции
является функция
,
то применяя формулу Ньютона-Лейбница,
получаем
.
Основные методы вычисления определенных интегралов
Из пункта 2.3 следует, что вычисление определенных интегралов осуществляется с помощью таблицы неопределенных интегралов. Если же интеграл не содержится в таблице, то следует провести такое преобразование, чтобы получить табличный интеграл.
Этой цели служат основные методы интегрирования, которые подобны применяемым для нахождения неопределенных интегралов, а именно: методы непосредственного интегрирования, подстановки (замены переменной) и интегрирования по частям.
Метод непосредственного интегрирования заключается в том, что данный интеграл представляется в виде суммы или разности табличных.
Пример 2.2. Вычислить
.
Интегрирование подстановкой (заменой
переменной) осуществляется с помощью
следующей формулы (заменой
):
,
в которой предполагается, что функции
и
непрерывны на
и
.
Если сравнить ее с аналогичной формулой замены переменной в неопределенном интеграле, то основное отличие состоит в том, что в случае вычисления определенного интеграла не обязательно возвращаться к старой переменной. Достаточно вычислить новые пределы интегрирования.
Пример 2.3. Вычислить
.
Положим
.
Тогда
.
Найдем теперь новые пределы интегрирования.
Для этого в замену
подставим пределы интегрирования
исходного интеграла
и
:
.
В краткой записи решение этого примера выглядит так:
.
Пример 2.4. Вычислить
.
Интегрирование по частям в определенном
интеграле производится по формуле
,
в которой предполагается непрерывность
функций
на
.
При этом сохраняются все рекомендации
о том, что взять за
«
»,
а что -- за «
».
Пример 2.5. Вычислить
.
Пример 2.6. Вычислить
Упражнения
Вычислить интегралы (в скобках указаны ответы):
1).
;
10).
;
2).
;
11).
;
3).
;
12).
;
4).
;
13).
5).
;
14).
6).
;
15).
;
7).
;
16).
;
8).
;
17).
;
9).
;
18).
.