Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ИНТЕГР~1.DOC
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
2.3 Mб
Скачать

Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл с одинаковыми нижним и верхним пределами интегрирования равен нулю, то есть .

  1. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный.

3. (Свойство аддитивности). Каковы бы ни были числа всегда имеет место равенство . (Предполагается, что функция непрерывна на большем из трех отрезков ).

4. (Свойство линейности). Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: --константа.

Интеграл от суммы (или разности) функций равен сумме (соответственно, разности) интегралов от этих функций: .

5. (Свойство монотонности). Если и , то .

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция непрерывна на отрезке и функция является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона-Лейбница . Введем обозначение для разности .

Тогда .

Пример 2.1. Вычислить .

Так как одна из первообразных для функции является функция , то применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

.

Основные методы вычисления определенных интегралов

Из пункта 2.3 следует, что вычисление определенных интегралов осуществляется с помощью таблицы неопределенных интегралов. Если же интеграл не содержится в таблице, то следует провести такое преобразование, чтобы получить табличный интеграл.

Этой цели служат основные методы интегрирования, которые подобны применяемым для нахождения неопределенных интегралов, а именно: методы непосредственного интегрирования, подстановки (замены переменной) и интегрирования по частям.

Метод непосредственного интегрирования заключается в том, что данный интеграл представляется в виде суммы или разности табличных.

Пример 2.2. Вычислить

.

Интегрирование подстановкой (заменой переменной) осуществляется с помощью следующей формулы (заменой ): , в которой предполагается, что функции и непрерывны на и .

Если сравнить ее с аналогичной формулой замены переменной в неопределенном интеграле, то основное отличие состоит в том, что в случае вычисления определенного интеграла не обязательно возвращаться к старой переменной. Достаточно вычислить новые пределы интегрирования.

Пример 2.3. Вычислить .

Положим . Тогда . Найдем теперь новые пределы интегрирования. Для этого в замену подставим пределы интегрирования исходного интеграла и : .

В краткой записи решение этого примера выглядит так:

.

Пример 2.4. Вычислить

.

Интегрирование по частям в определенном интеграле производится по формуле , в которой предполагается непрерывность функций на . При этом сохраняются все рекомендации о том, что взять за

« », а что -- за « ».

Пример 2.5. Вычислить

.

Пример 2.6. Вычислить

Упражнения

    1. Вычислить интегралы (в скобках указаны ответы):

1). ; 10). ;

2). ; 11). ;

3). ; 12). ;

4). ; 13).

5). ; 14).

6). ; 15). ;

7). ; 16). ;

8). ; 17). ;

9). ; 18). .