2. Основные методы интегрирования.

1). Непосредственное интегрирование.

Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример 1.4. Вычислить .

Применив свойства 3) и 4), имеем

Далее, используя соответственно формулы 1,2,3,6,10 таблицы основных интегралов, находим:

.

Заметим, что произвольные постоянные не записываются для каждого интеграла а в конце ставится постоянная С, которая является суммой всех произвольных постоянных.

Пример 1.5. Вычислить .

По формуле 9, где , получаем .

Пример 1.6. Вычислить .

Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как , то интеграл можно записать в виде:

.

Применяя свойство 4) и формулы 7, 8, находим

.

Пример 1.7. Вычислить .

Так как , то

(здесь мы применили формулы 2 и 9 ( ) ).

Упражнения

1. Применяя метод непосредственного интегрирования, вычислить интегралы (в скобках указаны ответы):

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20) .

2) Метод подстановки (метод замены переменной).

Метод основан на следующей теореме:

Теорема 1.2. Пусть функция дифференцируема на некотором промежутке Т и . Тогда, если существует на Х, то существует на Т и .

Последняя формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Для возвращения к переменной необходимо заменить . Указанную формулу применяют также и в обратном направлении: .

Пример 1.8. Вычислить .

Интеграл не табличный. Применим подстановку , тогда , . Подставив в интеграл, получаем . В краткой записи решение этого примера выглядит так : .

Данный интеграл можно вычислить и непосредственно, заменив на , то есть внося под знак дифференциала множитель 3 и разделив на него интеграл. В результате получаем .

Пример 1.9. Вычислить .

.

(Здесь мы считаем, что ). Возвращаясь обратно к переменной , будем иметь

. Поэтому окончательно получим

.

Пример 1.10. Вычислить .

.

Вычислите данный интеграл методом внесения под знак дифференциала.

Пример 1.11. Вычислить .

Вычислим данный интеграл методом внесения под знак дифференциала, учтя при этом, что . Тогда получим

.

Данный интеграл можно также вычислить с помощью подстановки .

Вообще, .

Пример 1.12. Вычислить

.

Данный интеграл можно вычислить и с помощью подстановки .

Пример 1.13. Вычислить

.

И вообще, если подынтегральное выражение не содержит других корней, кроме корня , где -- некоторые числа -- натуральное число, то следует применить подстановку .

Пример 1.14. Вычислить .

Сделав подстановку , получим ,

. Далее имеем

.