Метод замены переменной в несобственном интеграле
Теорема 3.1. Пусть функция
непрерывна на
,
функция
непрерывно дифференцируемая на
,
причем
и
строго монотонна на
.
Тогда интегралы
сходятся или расходятся одновременно
и, если сходятся, то они равны.
Интегрирование по частям в несобственных интегралах
Теорема 3.2. Пусть
-- непрерывно дифференцируемые функции
на
и существует конечный
.
Если один из несобственных интегралов
сходится, то сходится и второй, и
справедливо равенство
Пример 3.6. Исследовать на сходимость и вычислить, если он сходится
.
Применим теорему о замене переменной в несобственном интеграле.
.
Заметим, что
все условия на функцию
,
как легко проверить выполнены.
Упражнения
Исследовать на сходимость и вычислить в случае сходимости следующие несобственные интегралы (в скобках указаны ответы):
1)
;
10)
;
2)
;
11)
;
3)
;
12)
;
4)
;
13)
;
5)
;
14)
;
6)
;
15)
;
7)
;
16)
;
8)
;
17)
;
9)
;
18)
.
Несобственные интегралы от неотрицательных функций
Теорема 3.3. (Первый признак
сравнения). Пусть функции
и
непрерывны на
и
--
конечная особая точка
и
или
).
Тогда
а) если
сходится, то
сходится;
б) если расходится, то расходится.
Теорема 3.4. (Второй признак сравнения).
Если функции
и
непрерывны на
и
или
сохраняет знак в окрестности точки
,
причем
,
то есть
,
то несобственные интегралы
,
сходятся или расходятся одновременно.
На практике применение признаков сравнения часто приводит изучение сходимости рассматриваемого интеграла к стандартным несобственным интегралам типа:
сходится при
и расходится при
(см. пример 3.2) (3.1)
сходится при
и при
.
(3.2)
сходится при
и расходится при
(см. пример 3.4) (3.3)
Частным случаем последнего интеграла является
сходится при
и расходится при
(3.4).
Пример
3.7. Исследовать на сходимость
.
Подынтегральная функция
непрерывна на
имеет одну особую точку
.
.
Из теоремы 3.4 и утверждения (3.1) следует сходимость исходного интеграла.
Пример
3.8. Исследовать на сходимость
.
.
Исходный интеграл расходится.
Пример
3.9. Исследовать на сходимость интеграл
Пуассона
,
имеющий важное значение в теории
вероятности и математической статистике.
Пользуясь правилом Лопиталя, легко
показать, что
.
Следовательно, для достаточно больших
.
Из теоремы 3.3 и утверждения (3.1) следует
сходимость интеграла Пуассона. Заметим,
что значение этого интеграла равно
.
Пример
3.10. Исследовать на сходимость
.
Легко видеть, что
-- единственная особая точка для
подынтегральной функции на промежутке
.
.
Из теоремы 3.4 и утверждения (3.3) следует сходимость исходного интеграла.
Пример
3.11. Исследовать на сходимость
.
Точка
-- единственная особая точка подынтегральной
функции. Так как
.
Учитывая, что
,
имеем
.
Из теоремы 3.4 и утверждения (3.4) следует расходимость исходного интеграла.
Пример
3.12. Исследовать на сходимость
.
Так как
,
то у подынтегральной функции одна
особая точка
.
.
Из теорем 3.3 и 3.4 и утверждения (3.1) следует сходимость исходного интеграла.