Упражнения.
Вычислить интегралы (в скобках указаны ответы).
1).
;
2).
;
3).
;
4).
;
5).
;
6).
;
7).
;
8).
;
9).
;
10).
;
11).
;
12).
;
13).
;
14).
;
15).
.
1.5. Нахождение интегралов вида .
Отметим, что R обозначает
рациональную функцию своих аргументов
и
.
Эти интегралы сводятся к интегралам
от рациональной функции с помощью так
называемой универсальной подстановки
.
Так как
,
то
.
.
.
Пример 1.27. Вычислить
.
Однако на практике универсальная подстановка часто приводит к слишком сложным и трудоемким выкладкам, поэтому наряду с универсальной подстановкой полезно знать и другие постановки, которые во многих случаях быстрее приводят к цели.
Если функция
нечетна относительно
,
то есть
,
то рационализация интеграла достигается
с помощью подстановки
.
Если функция
нечетна относительно
,
то используется подстановка
.
Если функция
четна относительно
и
,
то есть
,
то целесообразна подстановка
.
Пример 1.28. Вычислить
.
Пример 1.29. Вычислить
.
Иногда при
вычислении интегралов указанного вида
бывает полезно прибегать и к другим
искусственным приемам, используя
известные тригонометрические формулы,
как, например, формулу
.
Пример 1.30. Вычислить
.
Замечание 1. Если в интеграле вида
оба показателя степени m
и n положительны и четны,
то целесообразно применять формулы
,
которые приводят данный интеграл к интегралу с меньшими неотрицательными показателями.
Замечание 2. Интегралы вида
непосредственно вычисляются с помощью
формул:
,
,
.
Пример 1.31. Вычислить
.
Упражнения.
Вычислить интегралы (в скобках указаны ответы).
1).
;
2).
;
3).
;
4).
;
5).
;
6).
;
7).
;
8).
;
9).
;
10).
;
11).
;
12).
;
13).
;
14).
;
15).
;
16).
;
17).
;
18).
;
19).
;
20).
;
21).
;
22).
;
23).
.
Определенный интеграл
2.1. Определение определенного
интеграла. Пусть функция
определена на отрезке
.
Разобьем отрезок на
произвольных частей точками
.
В каждом из полученных частичных
отрезков
выберем произвольную точку
и составим сумму
,
где
.
Эта сумма называется интегральной
суммой для функции
на
.
Обозначим через
длину наибольшего частичного отрезка
разбиения:
.
Определение 2.1. Если существует
конечный предел
интегральной суммы при
и он не зависит от выбора точек
,
то этот предел называется определенным
интегралом от функции
по отрезку
и обозначается следующим образом:
.
В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, -- подынтегральной функцией, --переменной интегрирования.
Для интегрируемости функции достаточно ее непрерывности на . В дальнейшем будем предполагать, что рассматриваемые функции непрерывны на .