Упражнения.
Вычислить интегралы (в скобках указаны ответы):
1).
;
2).
;
3).
;
4).
;
5).
;
6).
;
7).
;
8).
;
9).
;
10).
;
11).
;
12).
;
13).
,
14).
,
15).
,
16).
,
17).
,
18).
;
19).
;
20).
;
21).
;
22).
;
23).
;
24).
;
25).
;
26).
;
27).
;
28).
;
29).
;
30).
;
31).
.
Метод интегрирования по частям.
Теорема 1.3. Если функции
и
дифференцируемы на некотором промежутке
и существует
,
то существует и
,
причем
.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Большую часть интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, можно разбить на три группы.
.
Интегралы вида
,
где
-- многочлен,
--
некоторое число. Для их вычисления
следует положить
,
а
.
2. Интегралы вида
,
где
--
многочлен. Для их вычисления следует
положить
равной одной из функций, стоящих в
скобках, а
.
3. Интегралы
,
где
и
-- некоторые числа. Эти интегралы
вычисляются двукратным интегрированием
по частям (см. пример ниже).
В других случаях за
принимается функция, которая
дифференцированием упрощается, а за
-- та часть подынтегрального выражения,
содержащая
,
интеграл от которой известен или может
быть легко найден.
Пример 1.15. Вычислить
.
Обратите внимание на то, что при вычислении мы не добавляем постоянной.
Метод интегрирования по частям можно применять неоднократно.
Пример 1.16. Вычислить
.
Пример 1.17. Вычислить
.
Пример 1.18. Вычислить
Перенося
интеграл из правой части в левую, получим
.
Поэтому
.
Пример 1.19. В качестве еще одного примера применения метода интегрирования по частям выведем рекуррентную формулу для вычисления интеграла
.
При
имеем
.
Пусть
.
Тогда
.
Рассмотрим второй интеграл:
=
.
Таким образом,
(1.2)
Формулы типа
(1.2) называются рекуррентными. Они
позволяют свести вычисление интеграла
к вычислению интеграла
с индексом, меньшим на единицу, а в свою
очередь, вычисление
--- к вычислению
и т. д. В результате придем к известному
интегралу
и тем самым будет вычислен интеграл
.
Пример 1.20.
Вычислить
.
По рекуррентной формуле (1.2) имеем
.
Аналогично можно показать, что
.
(1.3)
Упражнения.
С помощью метода интегрирования по частям вычислить интегралы (в скобках указаны ответы).
1).
;
2).
;
3).
;
4).
;
5).
;
6).
;
7).
;
8).
;
9).
;
10).
;
11).
;
12).
;
13).
;
14).
;
15).
.