Упражнения

1. Изменить порядок интегрирования.

1) 7)

2) 8)

3) 9)

4) 10)

5) 11)

6) 12)

13) .

2. Вычислить двойные интегралы (указаны линии, ограничивающие область интегрирования).

1) (1)

2) (2)

3) (1)

4) (1)

5) (2)

6) (3)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13) (0)

Замечание к задачам 12, 13.

Если функция четна относительно переменной в области , то есть (аналогично относительно ), то

, где

Если нечетна относительно переменной в области , то есть , то .

Двойной интеграл в полярных координатах

Нам хорошо известны роль и значение метода замены переменной в определенном интеграле.

Аналогичный метод замены переменных используется и при вычислении двойных интегралов. Рассмотрим частный случай – переход к полярным координатам и .

Прямоугольные координаты связаны с полярными следующими соотношениями:

.

Пусть мы имеем двойной интеграл , где функция непрерывна в замкнутой области . Будем считать, что граница этой области пересекается каждой прямой, проходящей через начало

Координат не более, чем в двух точках. Имеет место формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам:

. (4.7)

Далее, . (4.8)

Заметим, что другой порядок интегрирования употребляется крайне редко, и мы на нем не будем останавливаться. Формула (4.8) соответствует случаю, когда полюс О лежит вне

области интегрирования .

Если же полюс расположен внутри области и любой луч, проведенный из полюса, пересекает границу области не более, чем в одной точке, то формула (4.8) примет вид:

, (4.9)

где -- уравнение границы области в полярных координатах.

Площадь области в полярных координатах вычисляется по формуле:

. (4.10)

Замечание. При вычислении двойных интегралов переход от прямоугольных координат к полярным особенно полезен в том случае, когда область интегрирования есть круг, или часть круга, или когда подынтегральная функция содержит в себе двучлен (при переходе к полярным координатам двучлен ).

Пример 4.7. Вычислить , где -- круг, ограниченный окружностью .

Круг ограничен окружностью . Уравнение этой окружности в полярных координатах

,

. По формулам (4.7) и (4.8) получаем

.

Пример 4.8. Найти площадь области, ограниченной лемнискатой

Так как и входят в уравнение только в четных степенях, то кривая симметрична относительно осей координат. Поэтому можно вычислить площадь части фигуры, расположенной в первой четверти, и результат умножить на 4: .

Здесь выгодно перейти к полярным координатам, так как в уравнение кривой входит выражение . Уравнение лемнискаты в полярных координатах .

Для области и .