Основные свойства двойного интеграла

Двойные интегралы обладают рядом простейших свойств, вполне аналогичных соответствующим свойствам простых интегралов.

Пусть и -- интегрируемые в области функции, тогда

1) где -- постоянное число;

2) ;

3) , где область разбита на две непересекающиеся квадрируемые области и ;

4) Если в области выполняется неравенство , то .

5) Теорема о среднем значении. Если функция непрерывна в замкнутой области , то существует точка такая, что , где площадь области .

Вопросы для самопроверки

а) Сколько интегральных сумм можно составить для данного способа разбиения области ?

б) Приведите пример функции, для которой величина интегральной суммы не зависит ни от способа разбиения области , ни от выбора точек .

в) Как выразится объем цилиндрического бруска, ограниченного сверху поверхностью , а снизу – поверхностью , если проекцией обеих поверхностей на плоскость OXY является область ?

Вычисление двойного интеграла

1. Случай прямоугольной области. Двойной интеграл по прямоугольной области вычисляется по формулам

, (4.3)

. (4.4).

В формуле (4.4), например, интегрирование сначала производится по при постоянном , а затем полученный результат интегрируется по , то есть последовательно вычисляются два определенных интеграла.

Пример 4.1. Вычислить , где

.

В соответствии с формулой (4.4)

.

2. Случай криволинейной области.

Областью, стандартной относительно оси OX, будем называть множество вида , где и непрерывные на функции. Геометрически такая область характеризуется тем, что прямая пересекает границу этой области не более, чем в двух точках.

Аналогично определяется область, стандартная относительно оси OY:

.

Для стандартных областей справедливы формулы:

(4.5)

(4.6)

Представления (4.3), (4.4), (4.5), (4.6) двойных интегралов в виде повторных называют расстановкой пределов интегрирования в определенном порядке. Так, например, из формул (4.5) и (4.6) следует, что , то есть для такой области пределы интегрирования можно расставлять как в том, так и в другом порядке.

Если область интегрирования не является стандартной, но ее можно разбить на части , каждая из которых является стандартной областью, то, в силу свойства аддитивности двойного интеграла, .

Для того, чтобы разбить область на части, являющиеся стандартными и найти соответствующие функции полезно изобразить область интегрирования на чертеже.

Пример 4.2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле , где область ограничена прямой и параболой .

Для вычисления двойного интеграла по этой области можно воспользоваться как формулой (4.5), так и (4.6), ибо граница области пересекается не более чем в двух точках прямыми параллельными оси OX, так и прямыми, параллельными оси OY. Применим сначала формулу

(4.5), . Чтобы найти пределы для : возьмем на оси OX произвольную точку , и проведем через нее прямую, параллельную оси OY в направлении этой оси. Точка входа этой прямой области лежит на прямой . .

Применим теперь к двойному интегралу формулу (4.6), . Для того, чтобы установить, каковы будут пределы внутреннего интеграла по , возьмем произвольную точку на оси OY, , и проведем через нее прямую, параллельную оси OX, в направлении этой оси. Точка входа этой прямой в область лежит на прямой , а точка выхода ее из области лежит на параболе .

. Следовательно, согласно формуле (4.6) .

Пример 4.3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

.

Нам не задана непосредственно область интегрирования, и мы должны выяснить ее вид по пределам повторного интеграла. Так как внутренний интеграл берется по , то пределы внутреннего интеграла показывают, какими линиями область ограничена снизу и сверху.

Уравнения этих линий соответственно и . Первое уравнение преобразуется к виду , или и определяет верхнюю половину окружности с центром в точке (1;0) радиуса 1. Так как при , то прямая , ограничивающая область слева, пересекает ее в одной точке (1;1). Прямая , ограничивающая область интегрирования справа, пересекает окружность в точке касания (2;0), а прямую -- в точке (2;2). Начертим область интегрирования . Граница области состоит из участков трех линий:

. Из рисунка видно, что точки входа в область одних прямых, параллельных оси OX, лежат на дуге окружности , а других – на биссектрисе . Точки выхода из области всех этих прямых лежат на прямой . Поэтому область

интегрирования разобьем на две части и . Тогда точки входа в область всех прямых, параллельных оси OX, будут лежать только на дуге окружности , а в область -- только на биссектрисе . Решая уравнения этих линий относительно , получим

Учитывая все сказанное, имеем

.

Пример 4.4. Вычислить , где -- область, ограниченная прямыми , и гиперболой .

Решая совместно уравнения прямой и гиперболой , получим точку их пересечения А(1;1). Для вычисления интеграла по заданной области удобно воспользоваться формулой (4.5). В этом случае мы будем иметь дело с одним повторным интегралом, так как прямые, параллельные оси OY,

Входят в область на гиперболе и выходят из нее на прямой . Легко видеть, что обратный порядок интегрирования, то есть применение формулы (4.6), был бы хуже, так привел бы к сумме двух повторных интегралов. Это объясняется тем, что область ограничена слева разными линиями, и поэтому часть прямых, параллельных оси OX, входят в эту область на гиперболе , а часть – на прямой .

Итак, приступим к вычислению двойного интеграла.

, где

.

Пример 4.5. Вычислить площадь области, ограниченной параболой и прямой .

Решая систему уравнений найдем точки пересечения параболы и прямой: А(0;2), В(8;-6). В силу формулы (4.1), площадь области . Из рисунка видно, что вычисление двойного интеграла

лучше провести по формуле (4.6), при другом порядке интегрирования мы получили бы сумму двух повторных интегралов.

Внешний интеграл по переменной берется в пределах от -6 до 2, а пределы внутреннего интеграла находятся из уравнений параболы и прямой, если решить их относительно :

Прежде чем перейти к примерам на вычисление объемов, следует иметь ввиду следующее замечание. При вычислении объема какого-нибудь тела полезно сделать пространственный рисунок, который давал бы представление о форме данного тела. Если же рисунок не удастся построить, то можно ограничиться хотя бы рисунком, изображающим только область интегрирования (основание цилиндрического бруса на плоскости). Однако и в этом случае необходимо представит себе, какая поверхность ограничивает брус сверху, а какая – снизу.

Пример 4.6. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом вращения , координатными плоскостями и плоскостью .

Поверхность параболоида вращения получается вращением вокруг оси OZ параболы . Уравнение в пространстве определяет плоскость, параллельную оси OZ, и пресекающую плоскость XOY по прямой в этой плоскости.

На рисунке изображено тело, объем которого надо вычислить. Это тело сверху ограничено поверхностью параболоида , снизу – плоскостью XOY, спереди –

плоскостью , слева – плоскостью XOZ (y=0), справа – плоскостью YOZ (x=0). Это тело представляет собой цилиндрический брус, расположенный над плоскостью

XOY. Его объем будем вычислять по формуле (4.2). Область интегрирования --

прямоугольный треугольник.