Упражнения
Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов.
1)
;
9)
;
2)
;
10)
;
3)
;
11)
;
4)
;
12)
;
5)
;
13)
;
6)
;
14)
;
7)
;
15)
;
8)
;
16)
.
Несобственные интегралы от функций, меняющих знак
Определение 3.3. Пусть функция
непрерывна на
(
--
конечная особая точка или
).
Если наряду с несобственным интегралом
сходится и
,
то интеграл
называют абсолютно сходящимся, а функцию
называют абсолютно интегрируемой на
.
Теорема 3.5. (признак абсолютной
сходимости). Если сходится несобственный
интеграл
,
то сходится
.
Отметим, что из сходимости последнего интеграла, вообще говоря, не следует сходимость . В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится не абсолютно (условно). Соответствующим образом определяются абсолютно условно сходящиеся несобственные интегралы от функций с двумя особыми точками.
Очевидно, если функция
абсолютно интегрируема на
,
а функция
ограничена, то их произведение
будет функцией, абсолютно интегрируемой
на
.
Сформулируем признак, который позволяет устанавливать сходимость несобственных интегралов в ряде случаев, когда абсолютная сходимость отсутствует.
Признак Дирихле. Пусть функция
непрерывна на
и
монотонная функция на
и
.
Тогда несобственный интеграл
сходится.
Пример 3.13. Исследовать на сходимость
.
Здесь функция
абсолютно интегрируема на
,
так как
.
В то время как
,
очевидно, ограничена. Отсюда следует
абсолютная сходимость исходного
интеграла.
Пример 3.14. Исследовать на сходимость
.
Пользуясь признаком Дирихле, полагаем
,
а
.
Условия теоремы выполнены, так как
и функция
,
монотонно убывая стремится к нулю при
.
Следовательно, исходный интеграл
сходится.
Можно показать, что этот интеграл при
сходится не абсолютно (см. [1]), а при
интеграл сходится абсолютно.
Пример 3.15. Исследовать на сходимость
.
Особая точка у подынтегральной функции
одна:
.
Пусть
,
тогда
.
Следовательно,
монотонно убывает при
.
Кроме того,
.
Далее,
.
В силу признака Дирихле исходный интеграл сходится.
Упражнения
Исследовать следующие несобственные интегралы на сходимость:
1)
;
8)
;
2)
;
9)
;
3)
;
10)
;
4)
;
11)
;
5)
;
12)
6)
;
13)
;
7)
;
14)
.
Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его геометрический смысл
Пусть функция
,
где
-- ограниченная замкнутая область в
,
которая имеет площадь Р (квадрируема).
Заметим, что если граница области
состоит из конечного числа непрерывных
кривых, каждая из которых выражается
уравнением вида
и
,
где
и
непрерывные функции, то эта область
квадрируема, то есть имеет площадь Р.
Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками этой области.
Разобьем область
произвольным образом сетью непрерывных
кривых на конечное число частей
,
,…,
,
площади которых соответственно обозначим
,
,…,
.
В каждом из
,
возьмем произвольную точку
и составим интегральную сумму для
функции
в области
.
Обозначим через
наибольший из диаметров частичных
областей
.
Определение 4.1. Если интегральная
сумма
при
имеет конечный предел
,
не зависящий ни от способа разбиения
области
на части, ни от выбора точек
,
то этот предел называется двойным
интегралом функции
по области
и обозначается
.
Функция
в этом случае называется интегрируемой
в
.
Замечание. Если
в области
,
то
.
Итак,
(4.1).
Для интегрируемости функции в области достаточно ее непрерывности в . В дальнейшем будем предполагать, что рассматриваемые функции непрерывны в области .
Рассмотрим тело
,
ограниченное сверху поверхностью
,
где
--
неотрицательная и непрерывная в области
функция; с боков – цилиндрической
поверхностью с образующей параллельной
оси OZ, снизу – фигурой
,
лежащей в плоскости XOY.
Тело указанного вида принято называть
цилиндрическим бруском.
Объем данного тела
.
(4.2).
Если
в области
,
то
.