5. Интерполяция функций. Интерполяция каноническими полиномами, интерполяция функции полиномами Лагранжа и Ньютона, интерполяция функции кубическими сплайнами.

Интерполяция функции , заданной , где заключается в нахождении полинома , значения которого в узловых точках совпадают со значениями , позволяющего найти значения в промежутках между узлами. На практике наибольшее распространение получили интерполяция каноническими полиномами, полиномами Ньютона и Лагранжа, а так же сплайн-интерполяция.

Интерполяция каноническими полиномами

При интерполяции каноническими полиномами апроксимирующая функция имеет вид (1)

Свободные параметры определяются из условия Лагранжа

_или

Свободными параметрами интерполяции являются коэффициенты полинома. Интерполяция полиномами обладает такими преимуществами, как простота вычислений их значений, дифференцирования и интегрирования. Если среди узлов нет совпадающих, то определитель системы отличен от нуля и ее решение относительно может быть найдено одним из известных методов решения СЛАУ (Гаусса, Крамера, обратной матрицы). Формула (1) позволяет достаточно просто вычислять значения полинома в любой точке заданного интервала [ ].

Интерполяция функции полиномами Лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

или

В отличие от канонического интерполяционного полинома для вычисления значений полинома Лагранжа не требуется предварительного определения коэффициентов полинома путем решения системы уравнений. Однако для каждого значения аргумента полином приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются только один раз. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано только в случае, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек х.

Интерполяция функции полиномами Ньютона

Интерполяционный многочлен для метода разделенных разностей имеет вид

_{Коэффициенты} А_i определяются из условия Лагранжа следующим образом: При

_{Блок-схема алгоритма вычисления коэффициентов полинома Ньютона.}

_{При программной реализации полином Ньютона удобнее вычислять по формуле Горнера}

_{Блок-схема алгоритма вычисления коэффициентов полинома по схеме Горнера}

Интерполяция функции кубическими сплайнами

В отличие от полиномиальной интерполяции, когда вся аппроксимируемая зависимость описывается одним полиномом, при сплайновой интерполяции на каждом интервале строится отдельный полином третьей степени со своими коэффициентами.

6. Методы обработки экспериментальных данных. Регрессионный анализ, линейная, полиномиальная, гиперболическая, экспоненциальная, степенная регрессии и регрессия общего вида.