2. Решение систем нелинейных уравнений.

Метод простых итераций

Нелинейную систему (2.14) заменяют эквивалентной системой вида

Метод Зейделя

Метод Ньютона

3. Методы численного интегрирования: методы прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона.

В процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность.

где I - приближенное значение интеграла;

R - остаточный член аппроксимации, определяющий погрешность вычисления.

На практике чаще всего используют методы численного интегрирования, основанные на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции, которые отличаются друг от друга степенью используемого полинома: методы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Методы этого класса просты и легко поддаются программной реализации.

Методы прямоугольников

Заменим подынтегральную функцию на интервале интегрирования полиномом нулевой степени, т.е. константой. Различают метод левых, правых и средних прямоугольников.

Наименьшую погрешность имеет метод средних прямоугольников, для которого приближенное определение интеграла определяется выражением

Для повышения точности вычислений интервал [a,b], разбивают на п частей (рис. 3.2), и тогда формула средних прямоугольников приобретает вид:

или в случае равномерного разбиения

где h- шаг расчета.

С увеличением количества разбиений п погрешность будет уменьшаться за счет более точной аппроксимации f(x). Однако при этом будет возрастать погрешность, накапливаемая за счет суммирования значений интеграла, и, начиная с некоторого n, она становится преобладающей. Это обстоятельство необходимо учитывать при выборе числа разбиений интервала интегрирования.

Главный член погрешности метода средних прямоугольников определяется выражением:

Степень шага h называют порядком метода, т.е. метод средних прямоугольников имеет второй порядок.

Метод трапеций

Заменим подынтегральную функцию на участке интегрирования полиномом первой степени, т.е. проведем через значения функции на концах прямую (секущую) (рис. 3.4, а). Приближенное значение интеграла будет определяться площадью трапеции

С целью повышения точности интервал [а, b] разбивают на n участков (рис. 3.4, б), и тогда формула трапеций имеет вид:

Или при равномерном разбиении

Главный член погрешности метода трапеций определяется выражением:

Метод Симпсона

Заменим подынтегральную функцию на участке интегрирования полиномом второго порядка, т.е. параболой, проходящей через узлы х₀, х₁, х₂ (рис. 3.6). В этом случае приближенное значение интеграла от функции f(x) на участке [а, b] определяется по формуле Симпсона:

Рис. 3.6. Метод Симпсона

При разбиении интервала интегрирования на п частей обобщенная формула

Симпсона может быть записана в виде:

Главный член погрешности метода Симпсона:

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера и методы Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений.

Суть метода Эйлера заключается в переходе от бесконечно малых приращений в уравнении к конечным: (1)

т.е. в замене производной приближенным конечно-разностным отношением:

где h = ∆х - шаг интегрирования.

Отсюда (3)

Рассматривая приближенное решение в точке как новые начальные условия, можно по формуле (3) найти значение искомой функции у(х) в следующей точке. В общем случае формула Эйлера имеет вид: (4)

Метод Эйлера может быть интерпретирован геометрически следующим образом: функцию у(х) заменяют ломаной, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Метод Эйлера

Достоинствами метода Эйлера являются его простота и наглядность, недостатками - относительно невысокая точность (он имеет первый порядок точности) и систематическое накопление ошибки. Точность и устойчивость решения в значительной степени зависят от величины шага интегрирования. Для оценки погрешности и выбора шага может быть применена формула Рунге .

Методы Рунге-Кутта второго порядка

Методы Рунге-Кутта второго порядка основаны на разложении функции у(х) в ряд Тейлора и учете трех его первых членов (до второй производной включительно).

Метод Рунге-Кутта второго порядка с полным шагом реализуется по формуле:

(6.1.)

Его геометрическая интерпретация (рис. 6.1.) заключается в следующем:

1. Приближенно вычисляют значение функции в точке x_i+h по формуле Эйлера и наклон интегральной кривой в этой точке

2. Находят средний наклон на шаге h:

3. По этому наклону уточняют значение y_i+1 по формуле (6.1.).

Рис. 6.1. Метод Рунге-Кутта второго порядка с полным шагом

Формула метода Рунге-Кутта второго порядка с половинным шагом имеет вид

Рисунок 6.3. Метод Рунге-Кутта второго порядка с половинным шагом

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка