1. Методы решения нелинейных уравнений. Суть метода дихотомии, метода Ньютона, метода секущих, их преимущества и недостатки.

Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами, наиболее эффективными из которых являются метод дихотомии, метод Ньютона, метод секущих.

Метод дихотомии

Во многих научных и инженерных задачах возникает необходимость решения уравнений вида (1)

где f – заданная функция;

x – неизвестная переменная;

Считаем, что в уравнении (1) отделение корней проведено и на отрезке [a,b] расположен только один корень (рис. 1.1.).

Рисунок 1.1. Метод дихотомии

Суть метода дихотомии заключается в следующем:

Делят интервал [a,b] пополам и находят

Корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которой функция f (x) имеет разные знаки (в нашем случае это интервал

Следовательно, для следующего шага уточнения корня точку b нужно переместить в середину отрезка, т.е. положить , и продолжить процесс до тех пор, пока не будет выполняться условие

Алгоритм метода дихотомии состоит из

следующих этапов:

1. Ввод интервала [a,b], требуемой погрешности вычисления корня ε, полосы шума 2ε₁ .

2. Нахождение средней точки интервала:

3. Проверка условия и прекращение итерационного процесса (переход к п. 8) в случае его выполнения.

4. Определение знака функции f(x) в средней точке и в точке их сравнение.

5. В случае совпадения знаков перенос точки a в точку , в противном случае перенос точки b в точку

6. Проверка условия и прекращение итерационного процесса (переход к п. 8) в случае его выполнения.

7. В противном случае возвращение к п. 2 и продолжение вычислений.

8. Вывод уточненного значения корня

Преимуществами метода дихотомии являются его простота, надежность, сходимость к простому корню для любых, в т.ч. недифференцируемых функций. К его недостаткам следует отнести относительно невысокую скорость сходимости и необходимость предварительного определения интервала, на котором функция меняет знак. Метод применяется главным образом в тех случаях, когда требуется высокая надежность счета, а скорость сходимости малосущественна.

Метод касательных

Предположим, что функция f(x) непрерывна и дифференцируема на рассматриваемом интервале и, кроме того, графическим или табличным методом определено начальное приближение к корню x₀ (рис. 2.1.).

В точке x₀ вычисляют значение f(x₀) и производную . Следующее приближение к корню определяют в точке x₁, где касательная к функции f(x₀), проведенная в точке , пересекает ось абсцисс. Считая точку x₁ в качестве начальной, процесс продолжают до тех пор, пока не выполнится условие .

В общем виде для -го шага:

Рисунок 2.1. Метод Ньютона

Следует отметить, что метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость, если выполняется условие . В качестве х₀

выбирают тот конец отрезка [a,b],на котором знаки и совпадают. Если начальное приближение выбрано достаточно близко к корню, то метод Ньютона гарантирует высокую скорость сходимости: абсолютная точность решения 10^-5-10^-6 обычно достигается за 5-6 итераций. Недостатком метода является необходимость вычисления на каждой итерации не только левой части уравнения, но и ее производной.

Графически этот процесс означает замену на каждой итерации графика касательной к нему.

 ввод исходных данных

• Определение корня

Метода секущих для решения нелинейных уравнений

Если итерации и расположены достаточно близко друг к другу, то в методе Ньютона можно заменить производную первой конечной разностью, найденной, но двум последним итерациям, т.е. заменить касательную секущей (рис.3).

Рисунок 3. Метод секущих

Тогда получим:

Для начала итерационного процесса необходимо задать два начальных приближения и . Скорость сходимости метода секущих несколько ниже, чем метода касательных, однако он не требует вычисления производной левой части уравнения.