4.2.1. Основне рівняння статики атмосфери

Нехай атмосфера знаходиться у стані спокою по відношенню до земної поверхні.

Виділимо в повітрі елементарний кубик, площа основи якого дорівнює 1 см², а його висота - Δz. Об'єм цього елементарного кубика (ΔV) дорівнюватиме ΔV = S Δz = 1 Δz = Δz см³, а маса Δm = ρΔz.

Сила (Р), з якою кубик повітря притягуватиметься до Землі,

очевидно буде такою:

P = Δmg = gρΔz (4.10)

На нижню основу кубика, який ми розглядаємо, діє сила атмосферного тиску Р, а на верхню грань - сила атмосферного тиску (Р+ ΔР), так як тиск зміниться на величину ΔР за рахунок зміни висоти стовпа повітря на Δz. Сили, які діють на бокові грані кубика при відсутності руху, очевидно, будуть рівними і протилежно напрямленими. Тому ними можна нехтувати. Згідно з принципом механіки сума діючих сил у стані спокою й рівномірного прямолінійного руху повинна дорівнювати нулю.

Р - (Р + ΔР) - gρΔz = 0 (4.11)

Розкриваючи дужки, отримаємо

ΔР = - gρΔz (4.12)

Або для нескінченно малого об'єму кубика рівняння (4.12) можна записати:

dР = - gρdz. (4.13)

Одержане рівняння (4.13) називають основним рівнянням статики атмосфери.

Розділивши ліву й праву частини рівняння (4.13) на dz, отримаємо:

ρ, (4.14)

де dР/dz = G_B - величина вертикальної складової градієнта тиску, а права частина (4.14) - gρ - це сила тяжіння, що діє на одиничний об'єм повітря масою ρ. Отже, основне рівняння статики фізично виражає рівновагу двох сил - сили градієнта тиску та сили тяжіння. На основі рівняння статики (4.13) та (4.14) можна зробити висновок, що тиск з висотою падає, при цьому падає тим швидше, чим більша густина повітря. Так як у нижніх шарах атмосфери густина повітря більша, ніж у верхніх, то, природно, зміна тиску повітря на одиницю висоти в нижніх шарах атмосфери змінюватиметься на більшу величину, ніж у верхніх. При інших однакових умовах у холодному повітрі тиск з висотою падатиме швидше, ніж у теплому повітрі, оскільки густина повітря обернено пропорційна його температурі.

Наведене в (4.13) у своєму диференційному вигляді основне рівняння статики дозволяє виконати розрахунок зміни тиску лише для малих приростів висоти dz. На практиці завжди необхідно мати дані про розподіл тиску в шарах атмосфери скінченної товщини, або визначити товщину таких шарів повітря за виміряними значеннями тиску. Для цього основне рівняння статики слід записати в кінцевому (інтегральному) вигляді. Результатом інтегрування рівняння (4.13) в так звані барометричні формули, кожна з яких виявляє закономірність розподілу тиску повітря по висотах при певному, наперед заданому, вертикальному розподілі температури та густини. Так, за умов збереження по всіх висотах величини густини повітря, отримаємо барометричну формулу однорідної атмосфери при незмінній по всіх висотах температурі повітря - барометричну формулу ізотермічної атмосфери та ін.

Для розрахунків тиску в реальній атмосфері доводиться враховувати фактичний розподіл температури по висотах.

Використовуючи основне рівняння статики та рівняння стану, розділивши змінні, проінтегруємо вираз (4.13) у межах від Р₀, на висоті z₀, до Р_z, на висоті z, і отримаємо:

(4.15)

Після потенціювання барометричну формулу реальної атмосфери можна записати так:

(4.16)

Введемо поняття середньої барометричної температури шару (T_mb).

(4.17)

Тоді

(4.18)

Розрахунки показують, що середня барометрична температура (Т_mb) при товщинах шару повітря, які не перевищують 3-5 км, практично не відрізняється від середньої віртуальної температури ( ). З урахуванням зробленого зауваження і підставляючи (4.18) в (4.16) запишемо кінцеву барометричну формулу реальної атмосфери.

(4.19)

де е - основа натуральних логарифмів.

Зазвичай для розрахунків формула (4.19) використовується в іншому вигляді, де вводиться температура повітря в градусах Цельсія (°С), вологість повітря та прискорення вільного падіння у функції висоти та широти.

z - z_o = 18400 х (1 + а ) х (1 + 0.377 ) х (1 + 0.0026соs2φ) х

x (1+1,14 10^-7 ) х lg (4.20)

де - середня температура (°С), що належить до середини шару , який розглядається; - середній парціальний тиск водяної пари; α = 0,004; φ - широта. Формула (4.20) має назву повної барометричної формули (формула Лапласа).

Для невеликих різниць висот між двома рівнями в атмосфері можна використовувати наближену формулу Бабіне, яка має вигляд

(4.21)

де Р_н - тиск повітря на нижньому рівні; Р_в - тиск на верхньому рівні; Н - перевищення одного пункту над іншим.

Нарешті, для вельми наближеної оцінки швидкості зміни тиску з висотою залежно від густини повітря на практиці зручно користуватися поняттям "баричний ступінь".

Баричним ступенем називається така висота, на яку потрібно піднятися з початкового рівня, щоб тиск знизився на 1 гПа. Позначимо її через Н. Одиниці баричного ступеню - м/гПа.

(4.22)

Враховуючи основне рівняння статики формула (4.22) матиме вигляд:

(4.23)

а за формулою Бабіне

(4.24)