Краткий вариант конспекта лекций «Основы теории взаимодействующих систем»

Для студентов направления КН

Кузнецов В.И., канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник,

доцент кафедры «Информационные технологии и системы» Национальной металургической академии Украины, г. Днепропетровск

Предисловие

Курс «Основы теории взаимодействующих систем» (ОТВС) следует рассматривать как продолжение и развитие курса «Системный анализ», к которому и к соответствующей литературе [1…3] рекомендуется обращаться.

Здесь же более подробно, хотя и в ограниченном временем объёме, рассматривается такая «ветвь» системного анализа, как анализ систем.

Следует отметить, что системы весьма разнообразны по своей природе, не менее разнообразны и взаимодействия между ними.

Невзаимодействующих систем нет, но понятия «замкнутая система», «автономная система» и соответствующие им модели широко используются в теории и практике. Там где это целесообразно и приемлемо.

Общая теория взаимодействующих систем на настоящее время отсутствует.

Вместе с тем, существует общий метод изучения, анализа систем – моделирование. Нас в рамках курса в первую очередь и главным образом будет интересовать математическое моделирование [4…7]. Причём – моделирование систем реального мира – естественных и искусственных. Моделированием абстрактных систем (например, систем знаний, научных теорий) заниматься не будем.

Модели (в том числе – математические) всегда проще реальных систем, объектов. Их сложность определяется целью исследования и возможностями исследователя.

В анализе и, особенно, в проектировании сложной системы обычно применяется ряд моделей возрастающей сложности, детализации. Это, так называемая, иерархия моделей. Наиболее простые адекватные модели в такой иерархии называются базовыми или фундаментальными («моделями моделей» по Н.Н. Моисееву). Их сравнительно немного, поэтому они обладают большой общностью [7]. Так, например, модель математического маятника является базовой для теории механических колебаний, теории звука, теории радиосвязи.

Можно сказать, что именно базовые модели вместе с их содержательной интерпретацией и являются теориями. По крайней мере – теориями, формализованными средствами математики.

Наиболее подробные, сложные модели в современном моделировании – это имитационные модели. Метод исследования – компьютерный эксперимент. Компьютеры, информационные технологии, системы компьютерного моделирования революционным образом расширили и продолжают расширять возможности моделирования. Но одновременно возрастает роль разработчиков моделей: системных аналитиков, специалистов предметной области, математиков, программистов. Имитационное моделирование – порождение «эры компьютеров».

Существуют два подхода к имитационному моделированию сложных систем. Первый из них («классический») основан на глобальных правилах, определяющих поведение системы в целом. Глобальные правила – это аналог законов природы в физике. Такой подход называется системным (системно-динамическим).

Второй подход (более современный) основан на локальных правилах поведения индивидуальных активных объектов – так называемых агентов. Из локальных взаимодействий агентов формируется поведение системы в целом. Такой подход называется агентным (или мультиагентным).

Оба подхода реализованы в современных системах имитационного моделирования.

В теоретических исследованиях развивающихся и взаимодействующих систем всё шире используются методы новой комплексной науки –синергетики, «нелинейной динамики» [7]. Такой подход можно назвать синергетическим. Современные универсальные и специализированные программные средства предоставляют возможности для анализа нелинейных динамических систем.

Все эти направления будут рассмотрены в курсе. Хотя и весьма кратко – по понятным причинам.

Часть 1. Системы, взаимодействие, моделирование

Лекция 1. Анализ систем

Лекция 2 . Моделирование взаимодействующих систем

Лекция 3 . Динамические системы

Лекция 4. Методы анализа динамических систем

1. Примеры аналитического решения простейших ОДУ (задача Коши).

Отметим, что эти уравнения служат математическими моделями динамики систем различной природы, из различных разделов науки и техники.

Пример №1

В механике это уравнение описывает равномерное прямолинейное движение или равномерное вращение тела вокруг неподвижной оси.

Пример №2

В механике это уравнение описывает прямолинейное движение под действием постоянной силы или вращение тела вокруг неподвижной оси под действием постоянного момента силы.

Пример №3

В механике это уравнение описывает прямолинейное движение под действием переменной силы или вращение тела вокруг неподвижной оси под действием переменного момента силы. Здесь сила либо момент – известные (заданные) функции времени.

Пример №4

Это уравнение описывает процесс экспоненциального роста при f(y)>0 (например, в физике и химической кинетике – это модель цепной реакции, в демографии – это модель Мальтуса) или экспоненциального затухания f(y) < 0 (например, в физике – это модель радиоактивного распада). Существует много других интерпретаций этого уравнения.

Пример №5

Это уравнение 2-го порядка, описывающее колебательное движение одномерной консервативной системы (в консервативной системе нет потерь суммарной энергии). Это – базовая модель теории колебаний, имеющая очень важное значение в различных разделах физики и техники. В частности, когда f(y) линейна, то это модель называется «гармоническим осциллятором»; она описывает гармонические (синусоидальные) колебания (маятника, в электрическом контуре и т.п.).

Аналитическое решение – это так называемый «интеграл живых сил» («живой силой» в механике XVIII-го века называли кинетическую энергию).

Обозначим: , тогда:

Получаем уравнение 1-го порядка в разделяющихся переменных:

Здесь видна одна из трудностей аналитического подхода. Мы получили решение «в квадратурах». Но нам нужна зависимость y(t), описывающая эволюцию системы, а получена обратная зависимость . И новый обратный путь к y(t) может оказаться трудным, а аналитически – чаще всего невозможным.

Пример №6

Простейшая «точечная» динамическая система имеет одну переменную состояния и описывается одним обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Поэтому «минимальная» модель взаимодействия двух систем должна описываться системой из двух таких уравнений с перекрёстными связями (т.е. системой 2-го порядка). Фазовое пространство такой системы двумерно и называется фазовой плоскостью. Именно такие динамические системы теоретически изучены полностью. Если система не содержит явно функции времени, то она называется автономной.

Простейший (но очень важный) класс систем ОДУ – системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка (автономная):

x, y – переменные состояния (фазовые переменные); a, b, c, d – параметры.

Начальные условия:

t = t₀, x = x₀, y = y₀,

в частности:

t = 0, x = x₀, y = y₀.

В матричном виде:

где - вектор-столбец переменных состояния,

- вектор-столбец производных,

- матрица коэффициентов.

Решение ищем в виде:

Подставив x(t) и y(t) в исходную систему и сократив на после преобразований получим однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно p.

Чтобы эта система имела нетривиальное (ненулевое) решение, величина p должна удовлетворять характеристическому уравнению:

или ,

или

где - след и определитель матрицы A соответственно.

Это – квадратное уравнение относительно p. Как известно, оно имеет два решения (корня), в общем случае – комплексных. Важно отметить, что значения этих корней зависят только от параметров системы, но не от начальных условий (и внешних воздействий).

Для получения окончательного ответа, частного решения x=x(t), y=y(t), найденные корни p, надо подставить в решения и найти переменные состояния из начальных условий.