8. Все полученные данные занесем в таблицу.

+

0

-

-

0

+

+

0

-

-

0

+

-

-

0

+

+

0

-

-

+

+

max

точка перег

min

точка перег

max

min

возр. выпуклая

убыв. выпуклая

убыв. вогнутая

возр. вогнутая

возр. выпуклая

убыв. выпуклая

убыв. вогнутая

возр. вогнутая

9. Нарисуем эскиз графика.

10. Отметим на плоскости точки экстремумов, точки перегиба и точки разрыва. Начертим асимптоты графика. Покажем стрелками, куда будет направлен график функции при приближении его к асимптотам и при .

11. Построим график функции.

Пример 1

Построить график функции .

1. Функция  - многочлен и ее областью определения служит вся вещественная ось. ООФ: . У этой функции нет точек разрыва, ее график не имеет вертикальных асимптот.

2. Вычислим значение функции при и получим точку пересечения графика с осью .

.

Точкой пересечения графика функции с осью ОУ является точка .

Нули функции: положим . Получим уравнение

С методами решения полных кубических уравнений мы не знакомились, поэтому нулей функции найти не можем.

3. Проверим, является ли функция четной или нечетной.

В выражение для вместо подставим и преобразуем полученное выражение

а) Для четной функции должно выполняться условие , ее график симметричен относительно оси . Проверим выполнение этого равенства

Следовательно, данная функция не является четной.

б) Для нечетной функции должно выполняться условие , ее график симметричен относительно начала координат.

Следовательно, данная функция не является нечетной.

Таким образом, данная функция является функцией общего вида.

4. Исследуем поведение функции при

Следовательно, график функции не имеет горизонтальных асимптот.

5. Проверим, имеет ли график данной функция наклонные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид

, где ; .

Если оба предела конечны (т. е. равны числу), то наклонная асимптота существуют. Если хотя бы один из этих пределов равен или не существуют, то наклонной асимптоты нет.

,

следовательно, наклонной асимптоты у графика нет.

6. Найдем интервалы монотонности функции и критические точки (т. е. точки, в которых может быть экстремум функции). Для этого

1. найдем производную от функции

2. приравняем ее к нулю

Решим полученное квадратное уравнение

Экстремум может быть в точках и .

3. Отметим на числовой прямой полученные числа и определим знаки производной на каждом из получившихся интервалов. Определение

знака производной выполнить проще, если ее разложить на множители

Интервалы возрастания функции: и ; на интервале функция убывает. При переходе через точку производная меняет знак с (+) на (-), значит в этой точке у функции максимум. При переходе через точку производная меняет знак с (-) на (+), значит в этой точке у функции минимум. Вычислим значение функции в точках экстремумов

Таким образом, мы получили координаты еще двух точек, принадлежащих графику: , .

7. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и проверим, имеет ли график функции точки перегиба. Для этого

1. найдем вторую производную функции

2. приравняем ее к нулю

Точкой перегиба может оказаться точка с абсциссой .

3. Отметим эту точку на числовой прямой и вычислим знаки второй производной на полученных интервалах. На интервале , значит, на этом интервале функция выпукла. На интервале , значит, на этом интервале функция вогнута. Так как при переходе через точку вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

Вычислим значение функции в точке перегиба.

Таким образом, координаты точки перегиба .

8. Все полученные данные занесем в таблицу.

	+	0	-		-	0	+
	-		-	0	+		+
		max		Точка перегиба		min
	возрастающая выпуклая		убывающая выпуклая		убывающая вогнутая		возрастающая вогнутая

9. Н арисуем эскиз графика.

10. Отметим на плоскости точки экстремумов и точку перегиба, выбрав подходящий масштаб (он может не совпадать по разным осям). Покажем стрелками, куда будет направлен график функции при .

11. Построим график функции.

Пример 2. Построить график функции .

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, следовательно,

; . .

Вычислим односторонние пределы функции в точке .

Предел справа: .

По мере приближения к слева график функции будет уходить вверх (вниз), приближаясь к вертикальной асимптоте.

Предел слева: .

По мере приближения к справа график функции будет уходить вверх (вниз), приближаясь к вертикальной асимптоте.

В точке у функции бесконечный разрыв 2 рода и через эту точку проходит вертикальная асимптота. Ее уравнение имеет вид . Эту асимптоту график функции не пересекает.

2. Н айдем точку пересечения с осью , нули функции и интервалы ее знакопостоянства.

Чтобы получить координаты точки пересечения с осью , вычислим значение функции при :

.

Точка является точкой пересечения графика функции с осью .

Нули функции.

Нужно найти значения , при которых , т. е.

Найдем корни уравнения: уравнение корней не имеет.

Нули функции и точки разрыва делят ОДЗ на интервалы знакопостоянства функции. Чтобы определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва, нужно подставить любое число из рассматриваемого интервала в исходное уравнение и определить знак функции.

Функция нулей не имеет, поэтому отметим на числовой прямой только точку разрыва .