3. Симметрия графика функции (четность, нечетность функции).

Следует отметить, что функция заведомо не является ни чётной, ни нечётной (будет функцией общего вида), если её область определения несимметрична относительно точки 0 на оси .

В случае симметричной области определения для проверки свойств четности-нечетности, в выражение для вместо подставим

и преобразуем, если необходимо, полученное выражение

а ) Если мы получим исходную функцию , т.е.

,

то функция является четной и ее график симметричен относительно оси .

б) Если мы получим исходную функцию со знаком ( ), т.е.

,

т о функция является нечетной и ее график симметричен относительно начала координат.

в) Если ; , то функция является функцией общего вида.

4. И сследуем поведение функции при . Если возможно по одз, найдем пределы: и .

Если , то при увеличении значений значения тоже увеличиваются .

Если , то при увеличении значений значения уменьшаются .

Е сли , то при уменьшении значений значения увеличиваются .

Если , то при уменьшении значений значения тоже уменьшаются .

Е сли пределы окажутся конечными ( и ), то график функции будет иметь горизонтальные асимптоты, уравнения которых имеют вид: правой и левой .

Если , то у данной функции одна горизонтальная асимптота. Ее уравнение .

График дробно-рациональной функции может иметь только одну горизонтальную асимптоту, а графики более сложных функций могут иметь разные (односторонние) горизонтальные асимптоты при .

Горизонтальная асимптота - частный случай наклонной асимптоты. Если мы выясним, что график функции имеет горизонтальную асимптоту, то уравнение наклонной асимптоты (см. п. 5) не искать не нужно.

График функции может пересекать наклонную (и горизонтальную) асимптоту.

Если можно определить, с какой стороны функция приближается к предельному значению (со стороны больших или меньших значений), то можно получить более точное представление о графике. Например,

если , то график функции подходит к асимптоте сверху,

а если , то график функции подходит к асимптоте снизу.

5. Проверим, имеет ли график функции наклонные асимптоты (правые, левые и двусторонние).

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: .

Параметры уравнения прямой находим по формулам:

; .

Если оба предела конечны (т. е. равны числу), то наклонная асимптота существует. Если хотя бы один из этих пределов равен или не существует, то наклонной асимптоты у графика нет.

График дробно-рациональной функции может иметь только одну

наклонную асимптоту, а графики более сложных функций могут иметь разные (односторонние) наклонные асимптоты при .

Уравнение правой асимптоты находим при :

; ; .

Уравнение левой асимптоты находим при :

; ;

Если и , то мы получим уравнение двусторонней асимптоты.

Наклонные асимптоты график функции может пересекать.

6. Найдем интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции и точки экстремума.

Если функция на интервале монотонно возрастает, то

ее производная первого порядка ; если функция на интервале монотонно убывает, то .

Поясним связь между знаком производной и возрастанием (убыванием) функции геометрически.

Если функция на интервале монотонно возрастает, то касательная образует острый угол с положительным направлением оси и ее угловой коэффициент (а значит и первая производная функции) будет положительной .

Возьмем точки и , и проведем касательные в этих точках и вычислим соответствующие им угловые коэффициенты.

Если функция на интервале монотонно убывает, то касательная образует тупой угол с положительным направлением оси и ее угловой коэффициент (а значит и первая производная функции) будет отрицательной .

Вычислим угловые коэффициенты касательных в точках и .

Следует заметить, что у монотонной функции могут существовать точки, в которых .

Точками экстремума называются точки максимума и минимума.

Если в точке экстремума существует производная, то она равна нулю, т.е.

.

В этом случае касательная к графику функции в точке экстремума проходит горизонтально.

Точка называется критической точкой первого рода для функции , если в этой точке производная либо равна нулю ( ), либо не существует, а функция непрерывна. Критические точки первого рода являются точками, в которых возможен экстремум.

У дробно рациональной функции критическими являются только точки, в которых (стационарные).

Найдем производную функции первого порядка и приравняем ее к нулю. Найдем координаты точек, в которых производная равна нулю (корни полученного уравнения). Предположим, что это точки , , , , и . Для исследования на монотонность и экстремумы на числовую прямую нанесем точки разрыва ( ) и найденные критические точки первого рода ( , , , , и ). Точки разрыва исключены из ОДЗ, поэтому мы отметим их как выколотые точки.

Указанные точки разбивают ОДЗ на интервалы. Определим знаки производной на каждом из полученных интервалов.

Если на выбранном интервале первая производная положительна ( ), то функция на данном интервале возрастает, если отрицательна ( ), то функция убывает.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то в этой точке у функции есть экстремум:

если знак меняется с на , то минимум.

если знак меняется с на , то максимум.

Вычислим значение функции в точках экстремума:

в точках максимума и ,

и в точках минимума и .

Если при переходе через критическую точку производная знак не меняет, то в данной точке у функции экстремума нет.