План исследования

1. Область допустимых значений; точки разрыва и их характер, вертикальные асимптоты графика.

2. Точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Симметрия графика функции (четность, нечетность).

4. Поведение функции при и горизонтальные асимптоты графика функции.

5. Наклонные асимптоты графика функции.

6. Исследование функции с помощью первой производной: интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции.

7. Исследование функции с помощью второй производной: участки выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба.

8. Анализ полученных результатов исследования и построение сводной таблицы.

9. Эскиз графика.

10. Отметить на плоскости точки экстремумов, точки перегиба и точки

разрыва. Начертить асимптоты графика. Показать стрелками, куда будет направлен график функции при приближении его к асимптотам и при .

11. Построение графика функции.

Рассмотрим подробнее все этапы исследования функции и построения ее графика.

1. Область определения функции (область допустимых значений).

Областью допустимых значений называется множество значений переменной , для которых существуют соответствующие значения .

Если у функции существуют изолированные точки, в которых функция не определена, то они будут являться точками разрыва. Если разрыв существует (например, в точке ), то определим тип разрыва. Для этого вычислим односторонние пределы: предел справа и слева .

Если при вычислении хотя бы одного из пределов получим , то в данной точке у функции будет разрыв 2 рода и через эту точку проходит вертикальная асимптота. Ее уравнение имеет вид . Эту асимптоту график функции ни когда не пересекает.

Если , то по мере приближения к справа график функции будет уходить вверх, приближаясь к вертикальной асимптоте.

Если , то по мере приближения к справа график функции будет уходить вниз, приближаясь к вертикальной асимптоте.

Если , то по мере приближения к слева график функции будет уходить вверх, приближаясь к вертикальной асимптоте.

Если , то по мере приближения к слева график функции будет уходить вниз, приближаясь к вертикальной асимптоте.

2. Найдем точку пересечения с осью , нули функции и интервалы ее знакопостоянства.

Чтобы получить координаты точки пересечения с осью , вычислим значение функции при . Точка является точкой пересечения графика функции с осью .

Н улем функции называется такое действительное число , при котором значение функции равно 0. Для того чтобы найти нули функции, следует решить уравнение . Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекает ось абсцисс (ось ), либо касается ее, либо имеет общую точку с этой осью. Функция может не иметь ни одного нуля.

Чтобы найти нули функции, положим и найдем соответствующие значения аргумента (или убедимся в отсутствии корней), если точные методы решения полученного уравнения известны. Следует отметить, что уравнение часто удается решить лишь приближенно.

Нули функции и точки разрыва делят ОДЗ на интервалы знакопостоянства функции. Чтобы определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва, нужно подставить любое число из рассматриваемого интервала в исходное уравнение и определить знак функции.