
- •1.1 Предмет математичної фізики. Диференціальні рівняння з частинними похідними
- •1.2 Зведення до канонічного виду рівняння другого порядку
- •Контрольні запитання
- •2.1 Поздовжні коливання стержня. Виведення хвильового рівняння
- •2.2 Постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання в стержні
- •Контрольні запитання
- •3.1 Поперечні коливання скінченної струни. Виведен-ня хвильового рівняння
- •3.2 Постановка задачі про поперечні коливання струни
- •3.3 Постановка задачі про поперечні коливання нескінченної струни
- •Контрольні запитання
- •4.1 Поперечні коливання нескінченної струни
- •4.2 Поперечні коливання скінченної струни
- •4.3 Фізичний зміст розв’язку задачі про поперечні коливання
- •4.4 Вимушені коливання струни
- •Контрольні запитання
- •5.1 Метод Фур’є для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •6.1 Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровідності
- •6.2 Постановка задачі теплопровідності
- •6.3 Метод Фур’є для розв’язування задачі теплопровідності
- •6.4 Стаціонарні процеси. Рівняння Лапласа
- •6.5 Задача Діріхле
- •6.6 Задача Неймана
- •6.7 Мішана задача
- •6.8 Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
- •6.9 Задача діріхле для круга
- •Контрольні запитання
- •7.1 Застосування операційного числення при розв’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похідними
- •6) Властивість диференціювання зображення
- •7) Властивість інтегрування зображення
- •7.2 Зображення згортки
- •7.3 Схема побудови розв’язку диференційного рівняння з частинними похідними
- •Контрольні запитання
Контрольні запитання
2.1 Які припущення відносно геометричного та фізичного стану стержня слід зробити при виведенні рівняння, яке б описувало поздовжні коливання які виникають у ньому під час розтягу, або стиску внаслідок прикладених зусиль?
2.2 На які фізичні закони спираються при виведенні хвильово-
го, що описує поздовжні коливання у стержні?
2.3 У чому полягає фізичний зміст коефіцієнта у хвильово-
му рівнянні ?
2.4 Вигляд хвильового рівняння у випадку важкого стержня.
2.5 З чого складається постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання в стержні?
2.6 Що задають та характеризують початкові умови? Що показують граничні умови? Різновиди граничних умов.
Лекція 3 поперечні коливання струни
3.1 Поперечні коливання скінченної струни. Виведен-ня хвильового рівняння
Розглянемо туго натягнуту струну із закріпленими кінця-ми. Якщо вивести її із стану рівноваги, то почнуться коливан-ня струни. При вивченні цього коливального процесу зробимо ряд припущень щодо геометричного і фізичного стану струни:
струна скінченна завдовжки l;
діаметр поперечного перерізу d набагато менший за довжину струни l, тобто ним можна знехтувати і вважати, що є тільки один характерний розмір – довжина;
струна однорідна, тобто лінійна густина
струна пружна, тобто має місце закон Гука;
коливання поперечні, тобто всі точки струни рухають-
ся перпендикулярно до її положення рівноваги, причому у будь-який момент струна лежить в одній площині;
коливання малі, тобто малі відхилення точок струни від положення рівноваги;
зовнішні сили, якщо вони є, неперервно розподілені вздовж струни і діють перпендикулярно до положення рівноваги струни;
сила натягу струни у всіх точках є величина стала (T=const) і напрямлена по дотичній до струни.
Виведемо
рівняння поперечних коливань струни.
Введемо систему координат
,
у якій струну розмістимо на осі
.
Рисунок
3.1 – Нескінченно малий елемент струни
М1,
М2,
спроектований на інтервал
Вважаємо,
що кінці струни (
та
)
нерухомо за-кріплені. Якщо струну вивести
із положення рівноваги (від-тягнути,
або ударити по ній), то кожна її точка
переміститься на деяку величину
.
Розглянемо нескінченно малий елемент
струни М1,
М2,
який проектується на інтервал
.
На цей елемент діють сили натягу T,
які замінюють відкинуті частини струни
(Рисунок 3.1). Знайдемо проекції сил на
вісь ou:
.
(3.1)
Оскільки
коливання малі, то кути
та
теж малі, тоді мають місце наступні
перетворення:
;
.
Тоді сила натягу струни
(3.2)
Сила
натягу належить до внутрішніх сил.
Припустимо, що на одиницю довжини струни
діє зовнішня сила з інтенсив-ністю
.
Тоді сила, що діє на виділений елемент
довжину якого, внаслідок його малості,
замінюємо на проек-цію
.
Зовнішня сила вважається додатною, якщо
вона діє вверх, і від’ємною, якщо –
вниз.
Тепер, згідно другого закону Ньютона (сума всіх діючих на рухомий об’єкт сил дорівнює добутку його маси на прискорення), маємо:
(3.3)
Введемо
такі позначення:
;
Тоді отримаємо хвильове рівняння для
поперечних коливань струни:
(3.4)
Зазначимо,
що
– розв’язок
цього рівняння, що визначає положення
будь-якої точки струни
у будь-який момент часу
,
тобто визначає форму струни.
Знайдемо
вільний член
,
пов’язаний з наявністю зовнішніх сил,
у випадку важкої струни. Середня
інтенсивність сили тяжіння для елемента
:
.
Інтенсивність в точці струни
Тоді
,
а хвильове рівняння набуває вигляду:
(3.5)
Якщо
то
коливання називаються вільними, а якщо
то
– вимушеними.
З’ясуємо
фізичний зміст коефіцієнта
,
визначивши його розмірність:
.
Отже,
,
тобто з фізичної точки зору
– це швидкість розповсюдження поперечної
хвилі.