Контрольні запитання

1. Що є предметом математичної фізики?

2. За допомогою яких математичних засобів моделюються фізичні задачі та явища, пов’язані з температурними, хвильо-

вими та іншими процесами?

1.3 Означення диференціального рівняння з частинними похідними, його порядок.

4. Що є розв’язком диференціального рівняння з частинними похідними і від чого він залежить?

1.5 Чим відрізняється загальний розв’язок диференціального рівняння з частинними похідними від загального диференціального рівняння?

1.6 Які фізичні процеси та явища описуються канонічними ди-

ференціальними рівняннями гіперболічного (еліптичного, па-

раболіного) типу?

1.7 Як звести диференціальне рівняння з частинними похідни-

ми, яке є лінійним відносно похідних другого порядку до ка-

нонічного типу?

1.8 Мета зведення диференціального рівняння з частинними похідними до канонічного типу.

1.9 Класифікація диференціального рівняння з частинними похідними другого порядку.

1.10 Як канонічний вид диференціального рівняння другого порядку з частинними похідними залежить від знаку визнач-

ника та дискримінанта D=В²−АС?

Лекція 2 Поздовжні коливання стержня

2.1 Поздовжні коливання стержня. Виведення хвильового рівняння

Розглянемо задачу про поздовжні коливання, які вини-кають у стержні під час його розтягу, або стиску внаслідок прикладених зусиль.

При виведенні рівняння, яке б описувало такі коливання зробимо ряд припущень відносно геометричного та фізичного стану стержня. Нехай стержень, як тіло циліндричної, або призматичної форми буде задовольняти наступним умовам:

1) стержень прямолінійний завдовжки l;

2) поперечний переріз є сталим, тобто його площа S=const;

3) стержень однорідний, тобто густина ;

4) стержень пружний, отже, мова йде про пружні коливан-ня, коли має місце закон Гука і нема залишкових деформацій ( );

5) стержень ізотропний, тобто властивості матеріалу, з якого зроблено стержень, у всіх напрямках однакові;

6) коливання малі;

7) зовнішні сили, якщо вони є, діють вздовж осі стержня;

8) в результаті коливань поперечні перерізи залишаються перпендикулярними до осі стержня.

Розглянемо стержень, вздовж осі якого спрямуємо вісь (рисунок 2.1). Виділимо довільний елемент стержня .

Рисунок 2.1 – Стержень з виділеним довільним елементом

Прикладемо до стержня деяку осьову силу, під дією якої поперечні перерізи стержня змістяться, кожний на свою величину.

Припустимо, що в деякий момент часу, який приймаємо за початковий ( ), силу знято. Тоді у стержні виникають поздовжні коливання, оскільки будучи пружним, він намага-ється повернутися у свій початковий стан. Нехай у результаті коливань кожний переріз в момент часу зміститься на деяку величину . Тоді переріз , зміститься на величи-ну , а – на , а виділений елемент займе положення і видовжиться на величину

.

Це є абсолютне видовження. Позначимо початкову довжину виділеного елемента через і знайдемо відносну деформацію як границю відношення абсолютного видовження до довжини елемента, коли ця довжина прямує до нуля:

.

Очевидно, що відносна деформація – величина безрозмірна.

Для виведення рівняння, яке описує коливальний процес скористаємося другим законом Ньютона, згідно якого сума всіх діючих на рухомий об’єкт сил, дорівнює добутку маси на прискорення. Розглянемо сили, які можуть діяти на виділений елемент

1. Внутрішні сили які згідно із законом Гука для будь-якого перерізу x і будь-якого часу t

, (2.1)

де Е – модуль Юнга. Отже, у перерізі діє сила , а у перерізі – сила . Таким чином, на виділений елемент діє внутрішня сила

(2.2)

2. Зовнішні сили, які за нашим припущенням діють вздовж осі стержня. Позначимо через f(x,t) величину цієї сили, віднесену до одиниці об’єму (інтенсивність зовнішніх сил). Тоді на елементарний об’єм діє сила а на виділений елемент

. (2.3)

3. Сила інерції, яка діє на елементарний об’єм дорівнює

. (2.4)

А на виділений елемент ця сила дорівнює

. (2.5)

Згідно із другим законом Ньютона маємо:

, або

. (2.6)

Вважаємо, що підінтегральна функція неперервна на довільно вибраному елементі . Тоді, за основною лемою математичної фізики підінтегральний вираз буде дорів-нювати нулю, отже,

/

.

Введемо позначення

.

Тоді

(2.7)

Отримане рівняння називається хвильовим рівнянням, яке описує поздовжні коливання у стержні.

Проаналізуємо це рівняння. Шукана функція U(x,t) – це зміщення перерізу в будь-який момент часу .

– характеризує наявність зовнішніх сил.

Якщо , то хвильове рівняння

(2.8)

описуватиме власні поздовжні коливання у стержні.

Якщо , то хвильове рівняння описуватиме вимушені коливання.

Визначимо вільний член у випадку важкого стержня, тобто коли діє сила тяжіння. Середня інтенсивність сили тяжіння для будь-якого елемента стержня довжиною дорівнює відношенню ваги цього елемента до його об’єму коливання . А у перерізі :

.

Отже, g.

Хвильове рівняння для важкого стержня:

(2.9)

Знайдемо розмірність коефіцієнта :

.

Таким чином, з фізичної точки зору коефіцієнт – це швидкість розповсюдження поздовжньої хвилі.