6.4 Стаціонарні процеси. Рівняння Лапласа
Стаціонарні процеси моделюються диференціальними рівняннями з частинними похідними еліптичного типу. Це процеси різної фізичної природи: коливань (механічних, зву-кових, електромагнітних ); теплопровідності, дифузії тощо. Найпростішим рівнянням такого типу є рівняння
(6.35)
яке називається рівнянням Пуассона.
Відповідне однорідне рівняння
(6.36)
називається рівнянням Лапласа.
Наприклад,
таким рівнянням описується стаціонарний
розподіл температури у просторовому
тілі. Дійсно, якщо температура
не залежить від часу t,
то
і рівняння теплопровідності зводиться
до рівняння Лапласа.
Зауважимо,
що у двовимірному випадку рівняння
Лапласа (6.36) набуває вигляду:
а в одно вимір-ному:
.
Функцію
називають гармонічною в області
якщо вона неперервна у ній разом зі
своїми похідними першого та другого
порядку і задовольняє рівняння Лапласа
.
У кожній задачі математичної фізики, пов’язаній з рівнянням Лапласа, шуканий розв’язок виділяється із множи-ни усіх гармонічних функцій за допомогою додаткової умови, яка є граничною умовою. Завдяки стаціонарності процесу початкова умова у цих задачах відсутня.
Залежно від способу задання граничної умови виділяють три крайові задачі: задача Діріхле (перша крайова задача), за-дача Неймана (друга крайова задача) та мішана (третя крайова задача).
6.5 Задача Діріхле
Ця задача
у просторі формулюється так: знайти
функцію
яка задовольняє всередині замкненої
поверхні Г
рів-няння Лапласа
та набуває у кожній точці М
границі Г
заданих значень:
Г.У.
(6.37)
Очевидним можна вважати той факт, що задача Діріхле завжди має розв’язок. Дійсно, якщо, наприклад, кожна точка границі тіла постійно підтримується при певній заданій тем-пературі ( яка може бути різною у різних точках границі ), то у кожній точці тіла встановиться своя температура, яка і дає розв’язок задачі Діріхле при заданих граничних умовах. Також очевидно, що цей розв’язок буде єдиним.
Аналогічно
формулюється задача Діріхле у двовимірному
випадку: знайти функцію
яка задовольняє всередині замкненої
кривої Г
рівняння Лапласа
та набуває у кожній точці М
границі Г
задані значення:
Г.У. (6.38)
Зазначимо,
що задача Діріхле розв’язується дуже
просто в одновимірному випадку, коли
розглядається, наприклад, стаціонарний
розподіл температури у тонкому стержні
довжи-ною l
з теплоізольованою бічною поверхнею.
Тоді задача Діріхле ставиться так:
знайти функцію
яка задовольняє рівняння Лапласа для
усіх
і набуває на кінцях стержня задані
значення:
Г.У.
(6.39)
Задача Діріхле у цьому випадку має розв’язок
(6.40)
6.6 Задача Неймана
задача
Неймана формулюється
так: знайти функцію
яка задовольняє всередині замкненої
поверхні Г
рів-няння Лапласа та її похідна по
напрямку зовнішньої нормалі
у кожній точці М
границі Г набуває
заданих значень:
Г.У.
(6.41)
Нагадуємо, що похідна пов’язана з потоком тепла через поверхню Г. Аналогічно формулюється задачі Неймана для двовимірного та одновимірного випадків.