Лекция 5 Тема: уравнения движения гироскопа
1. Теорема сложения скоростей
Из анализа основного свойства свободного гироскопа можно сделать вывод о том, что такой гироскоп, сохраняя направление своей главной оси неизменным в инерциальном пространстве, непрерывно изменяет свое положение относительно земных плоскостей видимым образом.
Это изменение происходит за счет суточного вращения Земли и движения судна по земной поверхности. Относительно инерциального пространства гироскоп может изменять свое положение, только совершая прецессионное движение.
Чтобы использовать гироскоп для определения направлений относительно земных плоскостей, необходимо знать угловые скорости движения главной оси гироскопа вследствие названных выше причин.
Уравнения движения гироскопа определяют движение гироскопа относительно земных плоскостей и относительно инерциального пространства. Они положены в основу при изучении теории навигационных гироскопических приборов и систем.
Для вывода уравнений движения гироскопа в общем виде воспользуемся известной из теоретической механики теоремой сложения скоростей: сумма угловых скоростей относительного (ωОТН) и переносного (ωПЕР) движений равна угловой скорости абсолютного движения (ωАБС). Аналитическая запись этой теоремы имеет вид:
ωОТН + ωПЕР = ωАБС (31)
В теории гироскопа под относительным движением понимается движение гироскопа относительно земных плоскостей (ГСК), под переносным движением движение земных плоскостей (ГСК) относительно инерциального пространства (ИСК), под абсолютным движением следует понимать движение гироскопа относительно инерциального пространства. Определим угловые скорости движения гироскопа вокруг своих осей X, У и Z:
(32)
2 . Относительное движение
Вначале определим угловые скорости относительного движения гироскопа вокруг своих осей, т.е. первые слагаемые системы уравнений (32). Для этого обратимся к рис. 12, на котором показано положение главной оси X гироскопа, отклоненной от меридиана в азимуте на угол α и приподнятой над плоскостью горизонта на угол β. Вокруг оси n ГСК .за время dt гироскоп повернется относительно плоскости меридиана на угол α. Угловая скорость этого движения определится из равенства:
ωотн n + ά = dα /dt (33)
Угловую скорость вращения главной оси гироскопа относительно плоскости горизонта
Рис.12 можно определить из формулы:
(34)
Проекция угловой
скорости α
относительного движения вокруг оси n
на оси X
и Z
гироскопа определятся из формул:
(35а),
отсюда:
(35)
Выражения (34) и (35) определяет угловые скорости относительного движения главной оси X гироскопа вокруг своих осей У и Z
Проанализируем первое уравнение системы (32). Оно характеризует угловую скорость вращения осей У и Z вокруг главной оси гироскопа. Правая часть этого уравнения равна нулю, т.к. прецессионное движение вокруг оси X гироскопа невозможно. Конструкция гироскопа такова, что при действии момента внешней силы по оси X изменяется только скорость собственного, вращения ротора гироскопа, но не изменяется направление главной оси X (вектора Н) Поэтому первое уравнение практического значения для одного гироскопа не имеет.
Некоторые навигационные гироскопические приборы имеют гироскопический элемент (чувствительный элемент гироскопа), у которого возможна прецессия вокруг оси X. В этом случае, обозначив угловую скорость относительного движения гироэлемента вокруг оси X через, получим:
(36)
где θ – сферическая координата оси Y гироскопа или гироэлемента в ГСК. Угол θ положительный, если ось Y опущена под плоскость горизонта.
Угловые скорости относительного движения гироскопа вокруг осей Х, Y и Z , определяемые по формулам (34-36).